Parciální derivace, kvadratické formy

Cite

Funkce více proměnných

Nebo též "vektorová funkce"

Funkce více proměnných

Zobrazení , kde

  • Tedy funkcí splňujících
  • Například lineární zobrazení zapsané po složkách

Pomocné definice

Euklidovská norma

Euklidovská norma vektoru

Euklidovská norma vektoru (tedy -složkový vektor) představuje délku tohoto vektoru (od počátku)

Euklidovská vzdálenost

Euklidovskou vzdálenost 2 bodů představuje číslo

Nerovnosti

Okolí bodu

Okolí bodu v R na n

#definice Okolí bodu

Mějme bod a .

Potom okolím bodu a poloměru nazýváme množinu všech bodů , jejichž vzdálenost od bodu je menší než .

Značíme ho

Hromadný bod

Hromadný bod množiny v R na n

#definice Hromadný bod množiny

Bod nazýváme hromadným bodem množina ,
právě když v každém okolí bodu leží bod množiny různý od .

  • Podmnožina s konečným počtem prvků nemá žádný hromadný bod
  • Je-li hromadný bod množiny , pak v každém jeho okolí leží nekonečně mnoho bodů množiny různých od

Vnitřní body, otevřená množina, hraniční body

vnitřní bod množiny, Hraniční bod množiny

#definice Vnitřní bod množiny

O bodu řekneme, že je vnitřním bodem množiny , právě když existuje okolí bodu takové, že celé .

#definice Otevřená množina

O množině řekneme, že je otevřená, právě když pro každý bod existuje okolí bodu takové, že celé .

  • Množina je otevřená, právě když každý její prvek je vnitřním bodem množiny
  • Otevřené intervaly jsou otevřené množiny
  • Tedy otevřená množina nemá "okraj"
#definice Hraniční bod množiny

Bod nazveme hraničním bodem množiny , právě když v každém okolí bodu existují takové, že a .

Limita vektorové posloupnosti

Limita posloupnosti

#definice Limita vektorové posloupnosti

Řekneme, že posloupnost vektorů má limitu (případně konverguje k) ,
právě když pro každé okolí bodu existuje takové, že pro každé přirozené platí .

Tento fakt značíme

  • Tedy uděláme obyčejnou MA1 limitu pro každou složku vektoru
  • Výsledná limita je vektor těchto MA1 limit (viz příklad)

Limita funkce více proměnných

#definice Limita vektorové funkce více proměnných

Mějme

  • funkci reálných proměnných kde
  • hromadný bod množiny .
  • bod

Funkce má v bodě limitu ,

právě když pro každé okolí bodu (okolí bodu limity) existuje okolí bodu (bod kde limitu počítáme) takové,
že kdykoliv , pak platí .

Symbolicky toto tvrzení zapisujeme

Pokud , pak ještě pro klademe kdykoliv

Parciální derivace

Parciální derivace

#definice Parciální derivace (v bodě)

Mějme reálnou funkci reálných proměnných definovanou na okolí bodu a .

Existuje-li limita pak její hodnotu nazýváme parciální derivací funkce v bodě podle -té proměnné a značíme ji případně .

  • Parciální derivace je číslo, které nám udává, jak rychle se funkce mění (míra změny), když stojíme v bodě a díváme se směrem -tého bazického vektoru ()
  • je parametr, který "škáluje" tento standardní bazický vektor
#definice Parciální derivace (funkce)

Označme jako množinu všech vnitřních bodů množiny , ve kterých parciální derivace.

Potom funkci přiřazující hodnotu každému nazýváme parciální derivací funkce podle -té proměnné a značíme ji případně .

Gradient

Gradient funkce

#definice Gradient funkce

Mějme reálnou funkci reálných proměnných
mající všechny parciální derivace v bodě .

Potom řádkový vektor nazýváme gradientem funkce v bodě a používáme pro něj značení

  • ! Je to řádkový vektor, ne sloupečkový
  • Je to vlastně první řádek matice (viz níže), kdybychom místo použili
  • Gradient ukazuje směr největšího růstu

Derivace vektorové funkce

Derivace vektorové funkce

#definice Derivace vektorové funkce

Mějme zobrazení , definované na okolí bodu .

Derivací zobrazení v bodě nazýváme matici splňující

První derivace (matice DF)

#veta Složky matice a její jednoznačnost

Pokud má zobrazení , definované na okolí bodu , derivaci v bodě , potom

  • V řádcích jsou parciální derivace -té složky vektorové funkce podle všech proměnných
      1. řádek = 1. složka podle všech proměnných
      1. řádek = 2. složka podle všech proměnných
    • ...
  • Ve sloupcích jsou parciální derivace všech složek podle nějaké jedné -té proměnné
      1. sloupec = všechny složky podle 1. proměnné
      1. sloupec = všechny složky podle 2. proměnné
    • ...

Druhá derivace (Hesseova matice)

#definice Hesseova matice

Na derivaci, resp. gradient, funkce
lze nahlížet jako na zobrazení .

Jeho derivací v bodě je pak matice typu , kterou nazýváme Hesseovou maticí a značíme .

Pokud existuje, pak platí

  • Vždy čtvercová matice

  • V 1. řádku jsou druhé parciální derivace 1. složky gradientu podle , podle , podle , …,

  • V 2. řádku jsou druhé parciální derivace 2. složky gradientu podle , podle , podle , …,

  • …

  • V posledním řádku jsou druhé parciální derivace poslední složky gradientu (), a derivujeme podle , podle , podle

Kvadratické formy

Kvadratické formy

#definice Kvadratická forma

Funkci nazýváme kvadratickou formou, právě když existuje symetrická matice splňující
pro každé

  • Alternativně pomocí standardního skalárního součinu lze zapsat jako
  • Matice musí být symetrická (a každou čtvercovou matici lze na symetrickou převést)
  • V kvadratické formě se nám mohou objevit pouze 2. mocniny jednoho členu nebo kombinace dvou různých členů (např. )

Definitnosti kvadratických forem

Definitnost kvadratických forem

#definice Typy definitnosti kvadratických forem

Kvadratickou formu nazveme:

  • pozitivně definitní (PD) právě když pro každé nenulové
  • pozitivně semidefinitní (PSD) právě když pro každé
  • indefinitní (ID) právě když existují vektory splňující a
  • negativně semidefinitní (NSD) právě když pro každé
  • negativně definitní (ND) právě když pro každé nenulové

Stejnou terminologii budeme používat i pro symetrické matice .

  • PSD a NSD - připouštíme situaci, že někde mimo nulu nám to také dává nulu
  • Každá PD je automaticky i PSD
  • Každá ND je automaticky i NSD

Určování definitnosti ("kritéria")

  • Bourací kritérium - Pokud má na diagonále prvky s různým znaménkem, potom je ID
  • Vztah s vlastními čísly - Podle znamének všech vlastních čísel:
    • PD,
    • PSD,
    • ID,
    • NSD,
    • ND
  • Úprava na čtverce - Podobně jako u vlastních čísel, ale podle znaménka koeficientů před čtverci. Pokud je počet čtverců menší, než počet proměnných, tak pouze PSD/NSD
  • Sylvesterovo kritérium - Determinanty podmatic z levého horního rohu:
    • pokud vždy kladná PD,
    • pokud se střídají ND.
    • Neříká nic o semidefinitnosti!

Názvy různých bodů

Stacionární, kritický, sedlový bod

#definice Stacionární, kritický, sedlový bod

Mějme funkci .
Bod nazveme:

  • Stacionárním bodem, právě když gradient
  • Kritickým bodem, právě když gradient neexistuje nebo je stacionární
  • Sedlovým bodem, právě když je stacionární, ale funkce v něm nemá lokální extrém
  • Kritický bod = podezřelý z extrému
  • Sedlový bod - jedním směrem je minimum, druhým směrem maximum, celkově tam extrém není

Lokální extrém

Definice podobná MA1 definici Lokální extrémy funkce, formálně viz Extrémy

  • Definice parafrázovaně: "Funkce má v bodě (ostré) lokální min/max, právě když existuje okolí, kde je ten bod (ostře) nejmenší/největší"
  • Nutná podmínka I. - Pokud je parciální derivace v bodě nenulová, pak v tom bodě není extrém
  • Nutná podmínka II. - Pokud je Hesseova matice v bodě indefinitní, pak v tom bodě není extrém
  • Postačující podmínka - Nechť gradient v bodě je nulový (tedy bod je stacionární bod),
    • Pokud je Hesseova matice PD, pak v tom bodě je ostré lokální minimum
    • Pokud je Hesseova matice ND, pak v tom bodě je ostré lokální maximum

Analytická metoda hledání extrémů

Příklad shrnutí

  1. Najdeme stacionární body
    1. Vypočteme gradient pomocí parciální derivace dle každé proměnné, tj. a
    2. Položíme do rovnice gradienty rovné nule, soustavou rovnic vypočítáme proměnné
    3. Vyjdou nám body tvaru
  2. Vypočteme Hesseovy matice
    1. Vypočteme Hesseovu matici pomocí 2. parciální derivace dle každé proměnné, tj. a a
    2. Vypadne nám matice tvaru
    3. Za dosadíme každý nalezený stac. bod z předchozího kroku
  3. Určíme definitnosti těchto matic
    1. Používáme známá kritéria
    2. Pokud vyjde PSD/NSD, nic o bodu nevíme. Musíme dále vyšetřovat "zúžením se" na různé směry

Vytvořeno: 27. 5. 2026, 11:59
Poslední aktualizace: 9. 6. 2026, 12:18