Integrály, řady, odhady posloupností

BI-SPOL.21-15

Integrály

Primitivní funkce

Primitivní funkce

#definice Primitivní funkce (antiderivative)

Nechť funkce je definována na intervalu , kde .
Funkci splňující podmínku žé nazýváme primitivní funkcí k funkci na intervalu .

Věty

  • je primitivní funkcí k na intervalu (podle derivace součtu)
  • je primitivní funkcí k na intervalu (podle derivace derivace konstantního násobku)
  • Nechť je spojitá na intervalu , pak má na tomto intervalu primitivní funkci
  • Věta o jednoznačnosti - buď funkce primitivní funkci nemá (neexistuje žádná), nebo jich je nekonečně mnoho a všechny jsou od sebe jen posunuté, liší se o konstantu

Tabulka primitivních funkcí

Neurčitý integrál

Neurčitý integrál

#definice Neurčitý integrál

Nechť k funkci existuje primitivní funkce na intervalu .
Množinu všech primitivních funkcí k funkci na nazýváme neurčitým integrálem funkce na intervalu a značíme jej nebo .

Riemannův určitý integrál

Geometrická konstrukce

Riemannův určitý integrál

#definice Riemannův určitý integrál

Pokud pro funkci definovanou a omezenou na uzavřeném intervalu platí, že se horní a dolní integrál rovnají
pak jejich společnou hodnotu nazýváme Riemannovým určitým integrálem funkce na intervalu a značíme

  • Postačující podmínka existence: Pokud je funkce na intervalu spojitá, pak existuje její Riemannův integrál

Zobecněný Riemannův integrál

Zobecněný Riemannův integrál

Zobecněnost - tvářím se, že interval není nekonečný, někde ho uříznu a pro zbytek udělám limitu

#definice Zobecněný Riemannův integrál

Nechť je funkce definovaná na intervalu pro nějaké a ,
která je Riemannovsky integrabilní na intervalu pro každé .

Pokud existuje konečná limita pak její hodnotu značíme a říkáme, že integrál konverguje.

Metody integrací

Per partes

Integrace per partes, Per partes pro určitý integrál

  • Pointa: Mám integrál a převedu ho na jiný, který by měl být jednodušší. U polynomů ideálně snížit stupeň.
#veta Per partes pro neurčitý integrál

Nechť

potom existuje primitivní funkce k funkci a platí

#veta Per partes pro určitý integrál

Nechť

  • a jsou funkce spojité na ,
  • má spojitou derivaci na intervalu ,
  • je primitivní funkce k funkci na intervalu .

Potom

Substituce I. typu

Substituce v neurčitém integrálu I., Substituce v určitém integrálu I.

#veta Věta o substituci I. v neurčitém integrálu

Nechť pro funkce a platí

Pak funkce má primitivní funkci na intervalu a platí

#veta Věta o substituci I. v určitém integrálu

Nechť pro funkce a platí:

  • a její derivace jsou spojité na
  • je spojitá na

Potom

Substituce II. typu

Substituce v určitém integrálu II., Substituce v neurčitém integrálu II.

#veta Věta o substituci II. v neurčitém integrálu

Nechť

  • je definována na intervalu ,
  • je bijekce intervalu na s nenulovou konečnou derivací v každém bodě intervalu ( je to monotonní funkce).

Pak platí

Číselné řady

Číselné řady

"Součet (resp. snaha sečíst) všech členů posloupnosti" - pokud to vyjde, označujeme výsledek jako "součet řady"

#definice Číselná řada
  1. Uvažujme číselnou posloupnost
    Formální výraz tvaru nazýváme číselnou řadou.
  1. Pokud je posloupnost částečných součtů konvergentní (má konečnou limitu), nazýváme příslušnou řadu také konvergentní.
    V opačném případě mluvíme o divergentní číselné řadě.
  1. Součtem konvergentní řady nazýváme hodnotu limity a značíme velkým , tedy

Kritéria konvergence číselných řad

  • Nutná podmínka konvergence - Pokud je limita nenulová nebo neexistuje, řada diverguje
  • Bolzano-Cauchy - Řada konverguje, právě když od nějakého indexu dál je součet členů posloupnosti
  • Absolutní konvergence - Řada je AK, právě když řada z abs. hodnot je konvergentní
  • Leibnizovo kritérium - Máme střídající znaménka , pokud a je monotonní, potom řada konverguje
  • Srovnávací kritérium - Máme dvě řady. Pokud větší K, potom menší AK. Pokud menší D, pak větší D.
  • d'Alembertovo kritérium - "Podílové kritérium pro řady"
    • Buď posloupnost kladných čísel
    • pokud , pak , a tedy řada (absolutně) konverguje
    • pokud , pak , tedy řada diverguje
  • Integrální kritérium
    • Buď číselná řada s kladnými členy
    • spojitá a monotónní funkce definovaná na intervalu
    • Pokud integrál konverguje, pak číselná řada konverguje
    • Pokud integrál diverguje, pak číselná řada diverguje

Mocninné řady

Mocninná řada

#definice Mocninná řada

Nechť je dána posloupnost a číslo ,
číselnou řadu
závisející na reálném parametru nazýváme mocninnou řadu se středem v bodě

  • Pokud , pak je řada určitě konvergentní (a má konečný součet)
  • Určit definiční obor znamená určit, pro která řada konverguje/diverguje (viz obor konvergence)
  • Pro každé z oboru konvergence definuje mocninná řada funkci, která mu přiřadí součet této řady
  • Příkladem mocninné řady je exponenciála

Geometrická řada

Pro geometrická řada konverguje a její součet je kde je první člen řady.

Taylorovy řady

Taylorova řada, Taylorův polynom

#definice Taylorova řada

Nechť reálná funkce reálné proměnné má v bodě konečné derivace všech řádů.
Mocninnou řadu
potom nazýváme Taylorovou řadou funkce v bodě .

Asymptotický odhad posloupností částečných součtů

Rychlost růstu součtů

#veta Odhadování rychlosti růstu různých součtů

Nechť je spojitá (a monotonní) funkce na intervalu a .

  1. Je-li klesající, pak lze součet odhadnout zespoda a ze shora jako
  2. Je-li rostoucí, pak lze součet odhadnout zespoda a ze shora jako

Vytvořeno: 27. 5. 2026, 11:59
Poslední aktualizace: 9. 6. 2026, 12:18