Derivace geometricky, extrémy

Cite

Derivace funkce

Derivace funkce, derivace funkce v bodě

#definice Derivace funkce v bodě

Nechť je funkce definovaná na okolí bodu .

Pokud existuje limita nazveme její hodnotu derivací funkce v bodě a označíme .
Pokud je tato limita konečná (tj. ), řekneme, že funkce je diferencovatelná v bodě .

  • Limitu v definici derivace lze ekvivalentně přepsat do tvaru, který je někdy výhodnější pro výpočty
#definice Derivace funkce

Nechť

  • je funkce s definičním oborem
  • označuje množinu všech takových, že existuje konečná derivace (v bodě)

Derivací funkce nazýváme funkci s definičním oborem , která každému přiřadí .
Tuto funkci značíme .

Tedy

Geometrický význam derivace

  • Derivace funkce v daném bodě je vlastně směrnice tečny ke grafu funkce (viz v |Tečna)
  • Udává sklon (míru růstu či poklesu) křivky v bezprostředním okolí bodu
  • Pomocí derivací vyšetřujeme průběh funkce:
      1. derivace monotonie, lokální a globální extrémy
      1. derivace konvexita/konkavita

Tečna

Tečna

#definice Tečna

Nechť existuje (derivace funkce v bodě)

Tečnou ke grafu funkce v bodě nazýváme

  • přímku s rovnicí , je-li a funkce je spojitá v bodě
  • přímku s rovnicí , je-li

Vlastnosti derivace

Základní vlastnosti derivace, l'Hospitalovo pravidlo

  • Spojitost: Je-li funkce diferencovatelná v bodě , pak je spojitá v bodě , tedy platí
  • Derivace součtu:
  • Derivace součinu:
  • Derivace podílu: , pokud
  • Derivace složené funkce:
  • Derivace inverzní funkce:
#veta l'Hospitalovo pravidlo

Nechť pro funkce a a bod platí:

  1. nebo
    (tedy máme výraz typu nebo )
  2. existuje okolí bodu splňující
    (tedy chceme, aby oba podíly funkcí i derivací byly definované na celém okolí bodu , nesmí tam vzniknout díry!)
  3. existuje limita podílu derivací
    (nikoliv limita derivace podílu!)

Potom existuje limita a platí

Vztah s monotonií

Monotonie funkce (výpočet pomocí derivací),
Typy monotonie funkcí (definice pomocí uspořádání)

#veta Derivace a typy monotonie

Nechť je spojitá na intervalu pro každé existuje derivace .
(předpoklady Lagrangeovy věty)

Potom platí:

  • je rostoucí na
  • je klesající na
  • je ostře rostoucí na
  • je ostře klesající na
  • je konstantní na

Vztah s konvexitou/konkavitou

Konvexnost, konkávnost

#veta Kritérium pro konvexnost

Buď funkce spojitá na intervalu , která má 2. derivaci v každém bodě .

#veta Kritérium pro konkávnost

Buď funkce spojitá na intervalu , která má 2. derivaci v každém bodě .

Inflexní bod - bod, kde se mění konvexita na konkavitu nebo konkavita na konvexitu

Lokální extrémy funkce

Lokální extrémy funkce

#definice Lokální extrémy funkce

Řekneme, že funkce má v bodě

  • 1 ) lokální maximum
  • 2 ) lokální minimum
  • 3 ) ostré lokální maximum
  • 4 ) ostré lokální minimum

právě když existuje okolí (v krajním bodě jen jednostranné) bodu tak, že

  • 1 ) pro všechna platí
  • 2 ) pro všechna platí
  • 3 ) pro všechna platí
  • 4 ) pro všechna platí
#veta Nutná podmínka existence lokálního extrému

Pokud má funkce lokální extrém v , pak nebo neexistuje.

Obměněnou implikací: Pokud , pak v bodě není extrém.

Metody hledání extrémů

Kritéria pro hledání extrémů

  • Pokud je (ostře) rostoucí na levém okolí a (ostře) klesající na pravém okolí , pak má v (ostré) lokální maximum

  • Pokud je (ostře) klesající na levém okolí a (ostře) rostoucí na pravém okolí , pak má v (ostré) lokální minimum

  • Pokud derivace funkce v bodě mění znaménko, potom má v bodě ostrý lokální extrém.

  • Pokud a je (ryze) konvexní v bodě , pak má v bodě (ostré) lokální minimum

  • Pokud a je (ryze) konkávní v bodě , pak má v bodě (ostré) lokální maximum

Asymptoty funkce

Asymptoty

Asymptota je přímka, ke které se graf funkce v určitém smyslu "přibližuje", když se proměnná nebo samotná funkční hodnota blíží k nekonečnu.

../../Attachments/Pasted image 20260604174855.png

Svislá asymptota

(na obrázku ta šedivá)

#definice Svislé asymptoty

Řekneme, že funkce má v bodě asymptotu právě když

  • Geometricky se jedná o vertikální přímku, podél které graf funkce utíká do nekonečna

Lineární asymptota

(na obrázku ta zelená a modrá)

#definice Lineární asymptoty

Řekneme, že funkce má v (resp. ) asymptotu právě když

  • Koeficienty počítáme následovně:
  • Geometricky to znamená, že vzdálenost mezi grafem funkce a touto přímkou se s rostoucím (či klesajícím) zmenšuje k nule.

Vytvořeno: 4. 6. 2026, 17:57
Poslední aktualizace: 9. 6. 2026, 12:18