Limity, asymptotika

BI-SPOL.21-13

Pomocné definice

Reálná čísla

  • Množinu reálných čísel chápeme jako těleso
  • Je vybaveno úplným uspořádáním - každé dva prvky jsou porovnatelné, lze je všechny seřadit
  • Splňuje Axiom úplnosti - množina nemá díry, způsob jak odlišit reálná čísla () od racionálních ()

Rozšířená reálná osa

Rozšířená reálná osa
"Úsečka, kde na koncích jsou body a "

#definice Rozšířená reálná osa

Množinu nazýváme rozšířenou reálnou osou,
značíme jako s pruhem, tedy

  • Každý prvek množiny je buď reálné číslo, nebo jeden ze symbolů
  • Jedná se o nedělitelné symboly, tedy pouze a , nikoli jen

Okolí bodu

Okolí bodu

#definice Okolí bodu

Nechť a

Otevřený interval nazýváme -okolím bodu , značíme
(někdy nazýváme oboustranné okolí)

#definice Pravé a levé okolí bodu

Nechť a

Polouzavřený interval nazýváme pravým -okolím bodu , značíme
Polouzavřený interval nazýváme levým -okolím bodu , značíme
(někdy nazýváme jednostranné okolí)

#definice Okolí bodů +Infty a -Infty

Nechť

Otevřený interval nazýváme okolím bodu , značíme
Otevřený interval nazýváme okolím bodu , značíme

Hromadný bod

Hromadný bod, Hromadný bod posloupnosti

#definice Hromadný bod (množiny)

Bod nazýváme hromadným bodem množiny ,
právě když v každém okolí (i libovolně malém!) bodu leží nějaký prvek množiny různý od .

#definice Hromadný bod posloupnosti

Bod nazýváme hromadný bodem posloupnosti ,
právě když v každém okolí bodu leží nekonečně mnoho členů posloupnosti .

Reálná funkce

Reálná funkce, Reálná funkce reálné proměnné

#definice Reálná funkce

Mějme a neprázdnou množinu.

Zobrazení množiny do množiny , tj. symbolicky nazýváme reálnou funkcí.

  • Definiční obor
  • Obor hodnot
  • Pokud (tedy ), mluvíme o reálné funkci reálné proměnné

Vlastnosti reálné funkce

  • Omezená: Má omezený , tedy

  • Konstantní: Všechny hodnoty stejné, tedy

  • Monotonní: Klesající / rostoucí (připouštíme i rovnost)

  • Ryze monotonní: Ostře rostoucí / ostře klesající

  • Sudá: Symetrický vůči počátku, kde platí (zrcadlově dle osy )

  • Lichá: Symetrický vůči počátku, kde platí (zrcadlově dle osy 1. a 3. kvadrantu)

  • Periodická: Opakuje se s periodou , tedy

  • Prostá (injektivní), právě když pro každá z rovnosti plyne rovnost

  • Na (surjektivní), právě když

  • Vzájemně jednoznačná (bijektivní), právě když je prostá i na současně

Reálná číselná posloupnost

Reálná číselná posloupnost, Vybraná posloupnost

#definice Reálná číselná posloupnost

Zobrazení množiny do množiny nazýváme reálná číselná posloupnost, zkráceně posloupnost.

  • -tý člen posloupnosti , tedy funkční hodnotu , označujeme
  • samotné označujeme jako index posloupnosti
  • Že je posloupnost zapisujeme symbolicky jako
  • Podobné vlastnosti jako u funkcí: (ostře) rostoucí/klesající, (ryze) monotonní, konstantní, omezená
#definice Vybraná posloupnost (podposloupnost)

Nechť je libovolná posloupnost a je ostře rostoucí posloupnost přirozených čísel.

Pak posloupnost nazýváme vybranou posloupností z posloupnosti

  • je vlastně jen posloupnost indexů, které vybíráme z původní

Limita posloupnosti

Limita posloupnosti

#definice Limita posloupnosti

Posloupnost má limitu ,

právě když pro každé okolí bodu existuje (zarážka, index) takové,
že pro libovolné přirozené (tedy od zarážky dál) je .

Symbolicky zapisujeme různými způsoby

  • Tedy posloupnost má limitu , právě když v každém okolí bodu leží všechny členy posloupnosti až na konečný počet výjimek
Symbolicky

Podmínku v definici bychom symbolicky vyjádřili jako

Limita reálné funkce + spojitost

Limita funkce

#definice Limita funkce

Mějme

Funkce má v bodě limitu rovnou ,

právě když pro každé okolí bodu existuje okolí bodu (místo zarážky u limity posloupnosti) takové,
že pokud a , pak .

Symbolicky zapisujeme různými způsoby

Symbolicky

Podmínku v definici bychom symbolicky vyjádřili jako

"Hromadnost" bodu v definici zaručuje, že v množině je vždy nějaký prvek různý od (je neprázdná)

Jednostranná limita funkce

Jednostranná limita funkce

Limita zúžení funkce na množinu (zprava), či (zleva)

Spojitost reálné funkce

Spojitost funkce v bodě, Spojitost funkce (na intervalu),
Základní vlastnosti spojitosti, Spojitost elementárních funkcí

#definice Spojitost funkce

Nechť je reálná funkce reálné proměnné a bod

Řekneme, že funkce je:

  • spojitá v bodě , právě když
  • spojitá v bodě zprava, právě když
  • spojitá v bodě zleva, právě když
  • spojitá na intervalu , právě když ( zúženo na ) je spojitá v každém bodě intervalu
  • spojitá, právě když je spojitá v každém bodě svého definičního oboru.

Nástroje pro výpočet limit

A známé limity: Známé limity

Asymptotické chování

Pro funkce

Asymptotická horní mez O, Striktně větší horní mez o,
Asymptotická dolní mez Omega, Striktně menší dolní mez malá omega,
Asymptotická těsná mez Théta,
Asymptotická ekvivalence

Mějme

  • dvě funkce
  • bod takový, že je hromadným bodem množiny
  • a existuje okolí splňující (tedy definiční obory obou funkcí jsou blízko -čka stejné)

Potom řekneme, že funkce je:

  • asymptoticky shora omezená funkcí pro jdoucí k , symbolicky právě když
  • shora striktně omezená ... symbolicky ...
  • zdola omezená ... symbolicky ...
  • zdola striktně omezená ... symbolicky ...
  • stejného řádu ... symbolicky ... (kombinuje odhad pomocí a )
  • asymptoticky ekvivalentní ... symbolicky ...

Vztah limit a asymptotických odhadů funkcí

Velké malé O pomocí limit

#veta Vztah limity a asymptotických odhadů O a o

Mějme

Dále předpokládejme, že:

  • bod je hromadným bodem množiny i (kopírujeme požadavky z definic malé/velké O)
  • existuje okolí bodu takové, že (kopírujeme požadavky z definic malé/velké O)
  • pro platí nerovnost (zde navíc, nelze dělit nulou)

Potom platí následující implikace a ekvivalence:

Pro posloupnosti

Velké malé O pro posloupnosti

Myšlenka je stejná, jen okolí lze nahradit zarážkou (indexem) , následovně:

#definice Asymptotické vztahy O,o posloupností

Symbolicky

Vztah limit a asymptotických odhadů posloupností

#tvrzeni Vztah limity a asymptotických odhadů Omega, omega, Theta

Mějme posloupnosti a .
Dále předpokládejme, že všechny členy jsou nenulové.
Potom platí:

Vytvořeno: 27. 5. 2026, 11:58
Poslední aktualizace: 9. 6. 2026, 12:18