Matice, vlastní čísla, diagonalizace

Cite
  • Matice
    • Součin matic
    • Regulární matice
    • Inverzní matice a její výpočet
    • Vlastní čísla matice a jejich výpočet
    • Diagonalizace matice

Matice

Jednotková matice

#definice Jednotková matice

Jednotkovou maticí řádu rozumíme čtvercovou matici  splňující pokud jinak 0 

#definice Diagonální matice

Diagonální maticí řádu nazveme libovolnou čtvercovou matici splňující pokud  

#definice Symetrická matice

Symetrickou maticí značíme matici pro kterou platí

#definice Inverzní a Regulární matice

Buď . nazveme inverzní maticí k matici pokud platí . Značíme Matici nazveme regulární pokud existuje matice, která je k ní inverzní. Pokud není matice regulární je Singulární.

Vztahy regularity a hodnosti matice

  • Buď , následující tvrzení jsou ekvivalentní
    • je regulární
    • (hodnost je rovna počtu řádků)
    • ( lze převést gem na jednotkovou matici)

Součin matic

Algoritmus násobení matic:

Výpočet Inverzní matice

  • Doplněním zadané matice o stejného rozměru sestavme rozšířenou matici ()
  • Na celou () aplikujeme GEM dokud nebude výsledek ve tvaru () nebo nevznikne nulový řádek (pak je singulární, a bez inverze)

Vlastní čísla matice

Determinant

#definice Determinant

Buď . Determinant matice je prvek z definovaný vztahem
kde je počet inverzí v permutaci
a permutace je bijektivní zobrazení

Výpočet determinantu matice

  • Dle definice či dle rozvoje sloupce – (ideálně přes sloupec či řádek s hodně nulami)
  • Křížové pravidlo (matice 2x2)
  • Sarussovo pravidlo (matice 3x3)
  • Horní trojúhelníková – součin prvků na diagonále
  • Některý sloupec či řádek nulový – determinant roven 0
  • GEM – prohození a násobení mění determinant
    • Prohození řádku mění znaménko determinantu
    • Násobení řádku mění determinant
    • přičtení násobku determinant nemění

Vlastní čísla a vektor

#definice Vlastní číslo a vlastní vektor

Číslo  nazýváme vlastním číslem matice , právě když existuje nenulový vektor  splňující
Takovýto vektor  pak nazýváme vlastním vektorem matice  příslušejícím vlastnímu číslu .
Spektrem matice  (ozn. ) je množina všech vlastních čísel matice .

Charakteristický polynom

#definice Charakteristický polynom

Charakteristický polynom matice  (ozn. ) je zobrazení definované předpisem

  • Vlastní čísla matice jsou kořeny charakteristického polynomu

Násobnost vlastních čísel

#definice Násobnosti vlastních čísel

Nechť  je vlastní číslo matice . Potom

  • algebraickou násobností vlastního čísla , ozn. , nazýváme jeho násobnost jakožto kořene charakteristického polynomu ,
    • matice má vždy alespoň jedno vlastní číslo, navíc součet algebraických násobností jejich vlastních čísel je n.
  • geometrickou násobností vlastního čísla , ozn. , nazýváme dimenzi vlastního podprostoru příslušejícího vlastnímu číslu , tj. dimenze všech řešení homogenní soustavy .

Výpočet vlastních čísel

  • Pro matici hledáme nenulovée vektory a čísla splňující A
  • To je ekvivalentní hledání takové, že homogenní soustava má nenulové řešení.
  • To nastává tehdy, když je matice singulární (Frobeniova věta).
  • Což je ekvivalentní tomu, že .
  • Nalezení vlastních vektorů – řešení homogenní soustavy .

Diagonalizace

Podobnost matic

#definice Podobnost matic

Matice nazveme podobné právě když existuje regulární matice taková že platí

  • Pokud jsou si dvě matice podobné mají stejný determinant, spektrum, vlastní čísla a jejich násobnosti.

Diagonalizovatelnost matice

#definice Diagonalizovatelná matice

Matice nazveme diagonalizovatelnou, jestliže je podobná nějaké diagonální matici.

  • matice A s n různými vlastními čísly je podobná matici D složené z vlastních čísel na diagonále
  • je diagonalizovatelná, pokud součet geometrických násobností vlastních čísel je roven n (rozměru matice).
  • je diagonalizovatelnáa, právě když každé z vlastních čísel matice má stejnou algebraickou a geometrickou násobnost.
  • Pokud má každé vlastní číslo algebraickou násobnost rovnou 1, pak je diagonizovatelná.
  • Symetrická matice má reálná vlastní čísla a je diagonalizovatelná

Vytvořeno: 27. 5. 2026, 11:58
Poslední aktualizace: 9. 6. 2026, 12:18