Soustava Lineárních rovnic, Frobeniova, GEM

BI-SPOL.21-11
  • Soustavy lineárních rovnic.
  • Frobéniova věta a související pojmy
  • Vlastnosti a popis množiny řešení
  • Gaussova Eliminační Metoda GEM

Soustava lineárních rovnic

Předpoklady

#definice Grupa

Nechť

  • je neprázdná množina a
  • je binární operace

Platí-li

  1. Asociativní zákon
  2. Existence neutrálního prvku:
  3. Existence inverzních prvků:

Říkáme, že uspořádaná dvojice je grupa.

#definice Abelovská grupa

Nechť uspořádaná dvojice je grupa.

Platí-li navíc pro i komutativní zákon
mluvíme o Abelovské grupě (komutativní grupě, Abelově grupě)

#definice Těleso (field)

Nechť

  • je neprázdná množina
  • je binární operace
  • je binární operace

Platí-li, že
1 ) je abelovská grupa (neutrální prvek značíme a nazýváme nulovým prvkem)
2 ) je abelovská grupa (neutrální prvek značíme a nazýváme jednotkovým prvkem)
3 ) Platí levý a pravý distributivní zákon, tj. (násobení je distributivní vůči sčítání)

nazýváme uspořádanou trojici tělesem

Soustava Lineárních Rovnic (maticový zápis)

  • Nechť

  • Rovnici nazýváme soustavou lineárních rovnic pro neznámých

  • Vektor nazýváme vektorem neznámých

  • Vektor nazýváme vektorem pravých stran

  • Matici nazýváme maticí soustavy

  • Matici rozšířenou maticí soustavy

  • Je-li (nulový vektor), mluvíme o homogenní soustavě

  • Soustavu nazýváme přidruženou homogenní soustavou lineárních rovnic k soustavě

  • Množinu všech řešení soustavy značíme a množinu řešení přidružené homogenní soustavy

Horní stupňovitý tvar (HST)

  • O matici řekneme, že je v horním stupňovitém tvaru,
  • jestliže jsou všechny řádky nulové , nebo jsou splněny obě následující podmínky:

  1. Případné nulové řádky jsou pouze v dolní časti matice:
    Existuje tak, že řádky až matice jsou nenulové a ostatní řádky jsou nulové

  2. V nenulových řádcích je vždy první nenulový prvek až za prvním nenulovým prvkem z předchozího řádku:
    Máme-li z předchozího bodu a označíme-li pro každé index nejlevějšího nenulového prvku v -tém řádku jako , tj. ,
    potom platí

  • Je-li matice v HST, potom sloupcům, ve kterých se vyskytuje první nenulový prvek řádku, říkáme hlavní sloupce, ostatním říkáme vedlejší sloupce

    • Tedy hlavní je ten, kde je schod
    • Vedlejší je ten, kde schod není

  • Soustava je v HST, pokud je v HST rozšířená matice soustavy

Příklad:

  • Pro matici
  • platí
  • Soustava je v horním stupňovitém tvaru.
  • Má tři hlavní sloupce (první, druhý a čtvrtý sloupec)
  • a tři vedlejší sloupce (třetí, pátý a šestý sloupec).
#veta O řešitelnosti soustavy s maticí v HST

Mějme soustavu lineárních rovnic , kde .
Je-li tato soustava v horním stupňovitém tvaru, platí následující:

  1. Je-li poslední sloupec matice hlavní, soustava nemá řešení.
  2. Je-li poslední sloupec matice jediný vedlejší sloupec, má soustava právě jedno řešení.
  3. Je-li poslední sloupec matice vedlejší a existuje-li ještě jiný vedlejší sloupec, má soustava více než jedno řešení.

Jiný případ než tyto tři nastat nemůže.

  • ! Posledním sloupcem se myslí opravdu poslední, tedy za oddělovací čárou, ten sloupec

Operace GEM

#definice GEM

Pro matici s prvky definujeme tyto operace

  • (G1) prohození dvou řádků
  • (G2) vynásobení jednoho řádku nenulovým číslem
  • (G3) přičtení libovolného násobku jednoho řádku k jinému řádku
  • Gem neovlivňuje hodnost matice!

Vektorový prostor

#definice Vektorový prostor

Nechť je libovolné těleso a . Množinu spolu s operacemi definovaných po složkách takto:

  • a pro položime:

    • Nazýváme Vektorovým prostorem

Podprostor

#definice Podprostor

Nechť . Řekneme že je podprostor vektorového prostoru , Právě když platí

  • Množina je neprázdná, tedy
  • Množina je uzavřená vůči sčítání vektorů v ní, tedy
  • Množina je uzavřená vůči násobení vektorů v ní skalárem, tedy
    Vztah být podprostorem značíme
  • Podprostory a nazýváme triviální podprostory
  • je vlastní podprostor)

Lineární kombinace

#definice Lineární kombinace
  • Nechť a je soubor vektorů z Říkáme že vektor je lineární kombinací souboru právě když existují čísla taková že
  • Čísla nazýváme koeficienty lineární kombinace. Jestliže jsou všechny koeficienty nulové, , nazýváme takovou lineární kombinaci triviální. V opačném případě jde o netriviální lineární kombinaci

Další pojmy

#definice Lineární (ne)závislost

Nechť je soubor vektorů z Řekneme že soubor vektor je lineárně nezávislý (LN) právě když pouze triviální lineární kombinace tohoto souboru je rovna nulovému vektoru . V opačném případě je soubor lineárně závislý (LZ)

#definice Lineární obal

Lineární obal souboru vektorů je množina všech lineárních kombinací, značí se

#definice Generování podprostoru

O soubor vektorů z řekneme že generuje podprostor právě když .
V případě že můžeme říkaž že generuje prostor

#definice Báze

Mějme . Existuje-li v soubor vektorů takový že:
1. je LN
2. generuje P
pak soubor nazýváme bází

#definice Dimenze podprostoru

Buď  podprostor . Řekneme, že dimenze podprostoru  je rovna

  1. 𝟎, pokud neexistuje LN soubor vektorů z  délky 1.
  2. 𝐝 , pokud existuje LN soubor vektorů z  délky 𝐝, ale každý soubor vektorů z  𝑃 délky 𝐝 + 𝟏 už je LZ.
    Dimenzi podprostoru 𝑃 označujeme symbolem dim⁡.

Vztahy dimenze a podprostorů

  • Buď a nechť v existuje LN soubor délky . Potom
  • Buď a nechť je v každý soubor délky LZ. Potom
  • Máme-li soubor vektorů  , který generuje podprostor , potom .
  • Nechť  je soubor vektorů z  a dim(⁡𝑃) = 𝑑 \in \N. Potom následující tvrzení jsou ekvivalentní:
    1. Soubor  je báze 𝑃.
    2. Soubor  je LN.
    3. Soubor  generuje 𝑃.
  • Nechť  je podprostor  takový, že dim(⁡𝑃) =𝑑. Potom v  existuje -členná báze.
  • Nechť  a nechť v  existuje -členná báze. Potom dim(⁡P) =d.
  • Všechny báze  mají stejný počet prvků, roven .
  • Můžou chtít důkazy možná radši neuvádět

Hodnost Matice

#definice Hodnost matice

Nechť . Hodností matice  nazýváme dimenzi lineárního obalu souboru řádků matice  (kde tyto řádky z   chápeme jako vektory z  ) a značíme ji . Neboli hodnost matice  je rovna

Pokud je matice v HST právě s nenulovými řádky, poté .

Nechť  je matice v horním stupňovitém tvaru s právě 𝑘 \in \N \cup {0} nenulovými řádky. Pak h\mA =k.

Frobeniova věta

#definice Frobéniova věta

Nechť  a . Uvažujme soustavu  lineárních rovnic pro  neznámých  Potom:

  1. Tato soustava je řešitelná právě tehdy, když
  2. Je-li  a  splňuje , pak
  3. Množina řešení homogenní soustavy  je podprostor dimenze .

  • Pokud , pak

  • Pokud , pak existuje LN soubor vektorů z tak, že

  • Jak plyne z Frobeniovy věty, je-li matice soustavy  čtvercová a regulární, existuje pro jakýkoli vektor pravých stran  právě jedno řešení soustavy .

    • Jak vypadá toto řešení? Stačí obě strany rovnice vynásobit zleva inverzní maticí 𝐀−1 a dostaneme

  • Řešení homogenní soustavy se realizuje pomocí a následného GEM rozšířené matice

  • Parciální řešení se hledá pomocí za pravou stranu.

Vytvořeno: 27. 5. 2026, 11:57
Poslední aktualizace: 20. 6. 2026, 21:19