share: true
aliases:
- Integrace více proměnných

Integrace více proměnných

Riemannův určitý integrál reálné funkce jedné proměnné jsme počítali na intervalu
Analogem intervalu v je obdélník, tedy kartézský součin
Analogem intervalu v je kvádr, tedy kartézský součin
Obecně v máme tzv. hyperkvádr, tedy kartézský součin

Riemannova konstrukce

Pro jednoduchost se omezíme na 2 proměnné
Vycházíme ze známé konstrukce Riemannova integrálu, tedy Dělení intervalu, Horní a dolní součet, Horní a dolní integrál, jen vše rozšíříme do více "dimenzí"

Funkce

Mějme funkci dvou proměnných definovanou na obdélníku ,
tedy

Dělení intervalu (resp. obdélníku)

Pro dělení

definujeme
kde

Množinu nazveme dělením obdélníku

(Tedy kde pro 1 rozměr jsme dělením rozsekali interval na několik malých podintervalů, zde jsme velký obdélník rozsekali na několik malých podobdélníků, viz obrázek)
../Attachments/Pasted image 20260115200444.png

Horní a dolní součet

Horní a dolní součty funkce na obdélníku při dělení definujeme předpisy:
$é í$ $é í$

Ukázka pro jeden prvek sumy
../Attachments/Pasted image 20260115201458.png

Horní a dolní integrál

$ě í é í$ $ě í é í$

Riemannův integrál na obdélníku

Pokud pro funkci definovanou a omezenou na obdélníku platí, že se horní a dolní integrály rovnají
pak jejich společnou hodnotu nazýváme Riemannovým integrálem funkce na obdélníku a značíme

Obecně pro více proměnných

Pokud bychom měli funkci definovanou na hyperkvádru , pak Riemannův integrál značíme

Někdy se vícerozměrnost zdůrazňuje použitím více symbolů , např přes obdélník nebo kvádr bychom značili

Vytvořeno: 15. 1. 2026, 19:36
Poslední aktualizace: 15. 1. 2026, 20:29