Příklad shrnutí

Nalezněte extrémy a sedlové body funkce ../Attachments/Pasted image 20260102152138.png

1. Stacionární body

Definičním oborem je

Pro gradient platí:

Funkce může mít extrém pouze v bodech, kde je gradient nulový.
Jeho nulovost je ekvivalentní podmínkám

Dosazením do původních rovnic dostaneme

Což je splněno pro

Stacionární body existují proto celkem 3:

2. Extrémy

Pro vyšetření extrémů spočtěme Hesseovu matici

Dosazením stacionárních bodů dostáváme

Vyšetřování matic

První a druhá matice je pozitivně definitní (PD) dle Sylvesterova kritéria:

V bodech má naše funkce ostrá lokální minima.

Druhá matice je negativně semidefinitní (NSD) dle Úpravy na čtverce:

Máme pouze jeden čtverec pro 2 proměnné, koeficient je záporný NSD, nic ohledně ne/existence extrému tedy nevíme.
Musíme se na bod podívat jinak, přes různé směry:

Vyšetřování NSD přes směry

Pro funkci v zadání platí

Funkční hodnota v bodě je

Zkusme se k bodu blížit následujícími dvěma způsoby:

a

Vidíme, že zeleným směrem jsme nad funkční hodnotou (je to takový ďolík), modrým směrem pod funkční hodnotou (je to kopeček).

../Attachments/Pasted image 20260102154858.png

V bodě proto extrém nenastává, je to sedlový bod.

../Attachments/Pasted image 20260102154207.png

Vytvořeno: 2. 1. 2026, 15:00
Poslední aktualizace: 3. 1. 2026, 18:22