share: true
aliases:
  - Postačující podmínky extrémů
  - Taylorova věta vektorová

Postačující podmínky extrémů

#veta Postačující podmínka existence lokálního extrému

Mějme funkci ,
mající spojité všechny třetí parciální derivace na okolí bodu ,

a nechť jsou splněny následující dvě podmínky:

Potom má funkce v bodě ostré lokální minimum (resp. maximum)

Pokud platí první podmínka a je indefinitní (ID), pak tato funkce v bodě lokální extrém nemá.
(víme také z Nutné podmínky extrémů II.)

Požadavek na spojité třetí parciální derivace je spíše technický kvůli důkazu. Věta by šla zformulovat i pro druhé parciální derivace. Pak by ale důkaz byl složitější.
Pro počítání není třeba řešit, typicky funkce v písemkách mají spojité VŠECHNY parciální derivace.
! Věta mluví pouze o PD/ND, nikoliv PSD/NSD. Nelze ze semidefinitnosti vyvozovat neostrý extrém!

Taylorova věta do kvadratických členů

#lemma Taylorova věta do kvadratických členů s odhadem chyby

Mějme funkci ,
mající spojité všechny parciální derivace do třetího řádu včetně, na okolí bodu ,

Potom existuje konstanta taková, že pro každé platí

í č á í č ř á č ř á č ý č ř á č č ř á č č

kde .

Tečka je maticové násobení
Kvadratický člen je Hesseova matice, která obsahuje všechny druhé parciální derivace, zleva a zprava je obložená vektorem
Zbytek je zbytek v Taylorově vzorci
- který obsahuje třetí parciální derivace
- a lze jeho velikost odhadnout seshora normou (délkou) vektoru umocněnou na třetí (tedy jde k nule rychleji (kubicky), než předchozí členy (kvadratické))

Vytvořeno: 2. 1. 2026, 11:45
Poslední aktualizace: 2. 1. 2026, 18:56