share: true
aliases:
- Úprava na čtverce

Úprava na čtverce

Algoritmus pro určení definitnosti kvadratických forem
Pro počítač by byly vhodnější spíš vlastní čísla
Pro školní příklady je super, prakticky nemá slabiny, lze ním umlátit cokoliv

Algoritmus

Mějme kvadratickou formu a postupně provádějme následující algebraické operace:

Ve výrazu zvolme proměnnou , která se v něm vyskytuje v kvadrátu
Vezměme všechny členy obsahující proměnnou , tedy výraz tvaru kde výraz obsahuje už pouze konstantní násobky proměnných různých od
Tento výraz doplníme na čtverec
Celkem dostáváme rovnost kde nová forma už nezávisí na -té proměnné
Opakujeme tento postup s

Na konci dostaneme ve tvaru součtu konstantních násobků nejvýše čtverců ( = počet proměnných)

Úprava na čtverec

#veta Úprava na čtverec

Předpokládejme, že předchozí algoritmus úspěšně proběhl a máme tedy ve tvaru
kde

má hodnost (plyne z postupné eliminace proměnných)

Potom platí:

Pokud a pro všechna , potom je pozitivně definitní (PD)
Pokud a pro všechna , potom je negativně definitní (ND)
Pokud a pro všechna , potom je pozitivně semidefinitní (PSD) (ale ne PD)
Pokud a pro všechna , potom je negativně semidefinitní (NSD) (ale ne ND)
Pokud existují taková, že a , potom je indefinitní (ID)

má plnou hodnost, tedy je v horním stupňovitém tvaru
je počet kvadrátů

Příklad

2 proměnné a 2 kladné čtverce
Tedy je pozitivně definitní (PD)

1 čtverec kladný, 1 záporný
Tedy je indefinitní (ID)
Odtud také vidíme, že
- volba (nuluje první čtverec)
- volba (nuluje druhý čtverec)

Vytvořeno: 5. 12. 2024, 22:29
Poslední aktualizace: 30. 12. 2025, 17:45