Úprava na čtverce

Algoritmus pro určení definitnosti kvadratických forem

Algoritmus

Mějme kvadratickou formu a postupně provádějme následující algebraické operace:

  1. Ve výrazu zvolme proměnnou , která se v něm vyskytuje v kvadrátu

  2. Vezměme všechny členy obsahující proměnnou , tedy výraz tvaru kde výraz obsahuje už pouze konstantní násobky proměnných různých od

  3. Tento výraz doplníme na čtverec

  4. Celkem dostáváme rovnost kde nová forma už nezávisí na -té proměnné

  5. Opakujeme tento postup s

Na konci dostaneme ve tvaru součtu konstantních násobků nejvýše čtverců

Úprava na čtverec

#veta Úprava na čtverec

Předpokládejme, že předchozí algoritmus úspěšně proběhl a máme tedy ve tvaru
kde

  • má hodnost (plyne z postupné eliminace proměnných)

Potom platí:

  • je jakoby -tá složka = násobím -tým řádkem matice daný sloupeček
  • má plnou hodnost, tedy je v horním stupňovitém tvaru
  • je počet kvadrátů

Příklad

  • 1 čtverec kladný, 1 záporný
  • Odtud vidíme, že
    • volba nuluje první čtverec
    • volba nuluje druhý čtverec
  • Tedy je indefinitní (ID)

Vytvořeno: 5. 12. 2024, 22:29
Poslední aktualizace: 5. 12. 2024, 22:56