Vztah s vlastními čísly

  • Důležitý vztah na teorii, pro počítání moc vhodný není
Připomenutí z BI-LA1/BI-LA2 (Diagonalizace symetrické reálné matice)

Symetrická reálná matice je diagonalizovatelná a všechna její vlastní čísla jsou reálná.
Vlastní vektory příslušející různým vlastním číslům jsou vzájemně ortogonální.

Tedy pro symetrickou reálnou matici existuje matice , která má na diagonále vlastní čísla.

Přesněji:
Máme-li symetrickou reálnou matici , pak existuje diagonální matice a regulární matice splňující

  • Matice má na diagonále vlastní čísla matice
  • Matice má ve sloupcích vlastní vektory příslušející vlastním číslům v pořadí na diagonále
  • Matici lze volit tak, aby , tedy potom
Důsledek

Kvadratická forma je

  • pozitivně definitní (PD), právě když všechna vlastní čísla matice jsou kladná
  • pozitivně semidefinitní (PSD), právě když všechna vlastní čísla matice jsou nezáporná
  • indefinitní (ID), právě když má matice kladné i záporné vlastní číslo
  • negativně semidefinitní (NSD), právě když všechna vlastní čísla matice jsou nekladná
  • negativně definitní (ND), právě když všechna vlastní čísla matice jsou záporná

Příklad

Určete typ definitnosti následující symetrické matice

Vlastní čísla vyrobíme spočítáním determinantu matice, kde na diagonále odečteme lambdu:

Spočítáme kořeny přes diskriminant a známý vzoreček

Jeden kořen kladný, jeden záporný indefinitní (ID)

Vytvořeno: 5. 12. 2024, 23:04
Poslední aktualizace: 2. 1. 2026, 21:29