Definitnost kvadratických forem

  • Pro hledání lokálních extrémů (viz Motivace v kvadratických formách) nám stačilo zjistit znaménko kvadratického členu (zda je kladný/záporný)

  • U kvadratické formy to není tak jednoduché, nemáme dáno uspořádání pro , nelze říct co je větší/menší

  • V případě tedy je situace jednoduchá

  • Pro platí:

    • pro všechna
    • pro všechna nenulová
    • pro všechna nenulová

../Attachments/Pasted image 20241205164636.png

  • V případě tedy už se vše komplikuje
  • Pro platí:
    • a současně

Typy definitnosti

#definice Typy definitnosti kvadratických forem

Kvadratickou formu nazveme:

  • pozitivně definitní (PD) právě když pro každé nenulové
  • pozitivně semidefinitní (PSD) právě když pro každé
  • indefinitní (ID) právě když existují vektory splňující a
  • negativně semidefinitní (NSD) právě když pro každé
  • negativně definitní (ND) právě když pro každé nenulové

Stejnou terminologii budeme používat i pro symetrické matice (viz níže)

  • je typu , právě když forma je typu
  • PSD a NSD - připouštíme situaci, že někde mimo nulu nám to také dává nulu
  • Každá PD je automaticky i PSD
  • Každá ND je automaticky i NSD

Vytvořeno: 5. 12. 2024, 16:40
Poslední aktualizace: 28. 11. 2025, 22:26