Definitnost kvadratických forem

  • Pro hledání lokálních extrémů (viz Motivace v kvadratických formách) nám stačilo zjistit znaménko kvadratického členu (zda je kladný/záporný)

  • U kvadratické formy to není tak jednoduché, nemáme dáno uspořádání pro , nelze říct co je větší/menší

  • V případě tedy je situace jednoduchá

  • Pro platí:

    • pro všechna
    • pro všechna nenulová
    • pro všechna nenulová

../Attachments/Pasted image 20241205164636.png

  • V případě tedy už se vše komplikuje
  • Pro platí:
    • a současně

Typy definitnosti

#definice Typy definitnosti kvadratických forem

Kvadratickou formu nazveme:

  • pozitivně definitní (PD) právě když pro každé nenulové
  • pozitivně semidefinitní (PSD) právě když pro každé
  • indefinitní (ID) právě když existují vektory splňující a
  • negativně semidefinitní (NSD) právě když pro každé
  • negativně definitní (ND) právě když pro každé nenulové

Stejnou terminologii budeme používat i pro symetrické matice

  • je typu , právě když forma je typu
  • PSD a NSD - připouštíme situaci, že někde mimo nulu nám to také dává nulu
  • Každá PD je automaticky i PSD
  • Každá ND je automaticky i NSD

Příklad

Jedna proměnná, n=1

  • Pokud , pak je PD (i PSD)
  • Pokud , pak je ND (i NSD)
  • Pokud , pak je PSD i NSD současně
  • ID v jedné dimenzi neexistují

Dvě proměnné, n=2

  • je PD (i PSD)

    • Pro každý vektor platí
    • Nulovou hodnotu dostaneme právě když

  • je NSD, ale není ND

    • Pro každý vektor platí
    • Nulovou hodnotu dostaneme i pro nenulový vektor , např. (proto není ND)

  • je ID

    • a současně

../Attachments/Pasted image 20251230170254.png

Vytvořeno: 5. 12. 2024, 16:40
Poslední aktualizace: 13. 1. 2026, 16:59