Kvadratické formy

Motivace

Motivace

Hledání lokálních extrémů funkcí více proměnných

Připodobnění pro funkci jedné proměnné:

Mějme funkci mající spojitou 3. derivace na celém a bod .
Potom dle Taylorovy věty platí

V tomto výrazu vidíme další důvod pro Kritérium pro hledání lokálních extrémů z BI-MA1:

Pokud a , potom má v bodě ostré lokální minimum.
Pokud a , potom má v bodě ostré lokální maximum.

Podobnou úvahu můžeme využít i u funkce více proměnných, zde bude

  • lineární člen (modrý) = gradient
  • kvadratický člen (červený) = kvadratická forma

Kvadratická forma

#definice Kvadratická forma

Funkci nazýváme kvadratickou formou, právě když existuje symetrická matice splňující
pro každé

  • Funkci dáme vektor a vypadne nám součet přes konstantní matici (Hesseova matice) a součin složek vektoru

  • Pokud , pak máme pro nějaké

  • Matice je symetrická, právě když

  • Pomocí standardního skalárního součinu a násobení matic můžeme výraz výše vyjádřit alternativně i takto

  • Matice nemusí být zadaná jako symetrická, ale můžeme jí na symetrickou převést

    • Pro každou matici a vektor platí
    • Kde už je symetrická matice

  • ! V kvadratické formě se nám mohou objevit pouze 2. mocniny jednoho členu nebo kombinace obou členů (viz rozepsáno níže, )

Převod matice na symetrickou

Tedy původní matici lze zapsat jako symetrickou

Vytvořeno: 5. 12. 2024, 15:47
Poslední aktualizace: 28. 11. 2025, 22:26