Derivace ve směru

(geometrický význam gradientu funkce)
Nic moc nového nám to nedává, ve skutečnosti je to skalární součin gradientu se směrovým vektorem

#veta Derivace ve směru

Nechť
má derivaci v bodě .

Buď (směr) vektor délky .
Tedy jeho norma .

Potom existuje limita (tzv. derivace funkce ve směru a v bodě )

a je rovna skalárnímu součinu

  • Zde jsme vektorem nahradili standardní bazický vektor z definice parciální derivace
  • Stojíme v bodě a díváme se směrem vektoru
  • Tedy tato věta nám říká, že pro získání derivace v jakémkoliv směru nám stačí použít obyčejnou parciální derivaci "v bazickém směru" (ve směru os), aplikací skalárního součinu

Příklad

Spočítáme klasickou parciální derivaci (gradient)

Potom

Gradient jako směr největšího růstu

  • Důsledek derivace ve směru
Důsledek (Gradient jakožto směr největšího růstu)

Nechť
má nenulovou derivaci v bodě .

Buď (směr) vektor délky .

Potom nabývá nejvyšší hodnoty pro

  • Jinak řečeno: Směr gradientu je směr největšího růstu
  • Pro určení jsme ho zde znormalizovali na délku 1, vydělením jeho velikostí (normou)

Geometrická ukázka

Mějme funkci (levý graf)

A její gradient (pravý graf, vizualizace pomocí vektorového pole)

../Attachments/Pasted image 20241203221746.png

Případně ještě 3D graf funkce

../Attachments/Pasted image 20241203221954.png

Vytvořeno: 3. 12. 2024, 22:04
Poslední aktualizace: 2. 1. 2026, 18:38