Derivace vektorové funkce

(Úplná / Totální) derivace

  • Parciální derivace zkoumala chování funkce jenom vzhledem k jedné proměnné
  • Motivace k zobecnění derivace na úplnou, pro funkce více proměnných, vychází z role 1. derivace (tečny) při lineární aproximaci funkce (viz první Taylorův polynom)
  • Místo tečny je to tedy tzv. tečna-rovina
#definice Derivace vektorové funkce

Mějme zobrazení ,
definované na okolí bodu .

Derivací zobrazení v bodě nazýváme matici splňující

  • Vektorová funkce má

    • proměnných
    • složek

  • Matice , pokud existuje, má

    • řádků (dimenze, kterou má obor hodnot)
    • sloupců

  • Tedy ta matice musí být tak "dobrá", aby chyba v čitateli byla menší než chyba ve jmenovateli ( znamená, že čitatel jde k nule rychleji než jmenovatel)

  • Ta matice nám tedy dává nejlepší možnou lokální aproximaci té komplikované vícerozměrné funkce v bodě ,
    je to "linearizace" té v bodě , dává nám to její lineární část

  • Tedy vágně , lokální chyba této aproximace je menší než lineární

Matice DF(a) - první derivace

#veta Složky matice a její jednoznačnost

Pokud má zobrazení ,
definované na okolí bodu ,
derivaci v bodě ,

potom

  • V řádcích jsou parciální derivace -té složky vektorové funkce podle všech proměnných

      1. řádek = 1. složka podle všech proměnných
      1. řádek = 2. složka podle všech proměnných
    • ...

  • Ve sloupcích jsou parciální derivace všech složek podle nějaké jedné -té proměnné

      1. sloupec = všechny složky podle 1. proměnné
      1. sloupec = všechny složky podle 2. proměnné
    • ...

  • Z toho plyne, že pokud funkce má tuto derivaci , pak má i derivace všech parciálních složek

  • Také je vidět, proč jsme gradient značili řádkovým vektorem

    • Pokud vezmeme (řádek), je toto jednořádková matice
    • Gradient je tedy jen speciální případ této matice

Hesseova matice - druhá derivace

#definice Hesseova matice

Na derivaci, resp. gradient, funkce
lze nahlížet jako na zobrazení .

Jeho derivací v bodě je pak matice typu , kterou nazýváme Hesseovou maticí a značíme .

Pokud existuje, pak platí

  • Vždy čtvercová matice

  • V 1. řádku jsou druhé parciální derivace 1. složky gradientu podle , podle , podle , …,

  • V 2. řádku jsou druhé parciální derivace 2. složky gradientu podle , podle , podle , …,

  • …

  • V posledním řádku jsou druhé parciální derivace poslední složky gradientu (), a derivujeme podle , podle , podle

Vytvořeno: 3. 12. 2024, 21:03
Poslední aktualizace: 13. 1. 2026, 16:31