Spojitost vektorové funkce

Spojitost vyjadřuje vztah mezi funkční hodnotou a limitou funkce v jistém bodě

#definice Spojitost vektorové funkce

Mějme vektorovou funkci
a hromadný bod definičního oboru funkce

Funkce je spojitá v bodě právě když

Funkci nazveme spojitou (resp. spojitou na množině ), právě když je spojitá v každém bodě svého definičního oboru (resp. v každém bodě množiny ).

  • Definiční obory spojitých funkcí, na které narazíme, budou většinou nějaké otevřené množiny
  • Budou tedy definovány dokonce na celém okolí bodu
#veta Spojitost součtu, násobku, součinu, podílu

Mějme dvě vektorové funkce

a hromadný bod množiny ,
a konstantu .

Předpokládejme, že i jsou spojité v bodě .

Potom platí

  • je spojitá v bodě
  • je spojitá v bodě

Pokud , potom platí

  • je spojitá v bodě
  • je spojitá v bodě , pokud

Využití spojitosti známých elementárních funkcí

Často budeme mít vektorovou funkci zadanou pomocí spojitých elementárních funkcí jedné proměnné, známých z BI-MA1 ()
Tento případ řeší následující věta

#veta

Mějme reálnou funkci jedné proměnné ,
a
a

Definujeme funkci ( v -tém faktoru) pro áž

Je-li spojitá , pak je spojitá i .

  • Tedy funkce (které funguje v ) vezme z vektoru jeho -tou složku, a dosadí do známé elementární funkce
  • V -té složce musí být , ostatní složky mohou být libovolné

Spojitost složené funkce

#veta Limita složené vektorové funkce

Mějme dvě vektorové funkce

Dále předpokládejme, že

  • je spojitá v bodě
  • je spojitá a definovaná na okolí

Potom je spojitá v bodě .

  • Tedy nejdříve zobrazí z do

  • Potom zobrazí z do

  • Celkově tedy zobrazí z do

Vytvořeno: 3. 12. 2024, 17:20
Poslední aktualizace: 3. 12. 2024, 20:47