Euklidovská norma vektoru

Euklidovská norma vektoru (tedy -složkový vektor) představuje délku tohoto vektoru (od počátku)

Prakticky se jedná o Pythagorovu větu pro více složek, tedy pro je

Euklidovská norma je indukována standardním skalárním součinem

Tedy

Poznámka

značí skalární součin a , tedy součin po složkách

Vzdálenost bodů

Euklidovskou vzdálenost 2 bodů představuje číslo

../Attachments/Pasted image 20241202165149.png

Poznámka

Vektorům takto v prostoru můžeme také říkat "body"

Vlastnosti normy

Schwarzova nerovnost

Pro každé platí

  • Vztah mezi absolutní hodnotou skalárního součinu a normou
  • Skalární součin souvisí s úhly mezi vektory díky této nerovnosti
  • Díky tomu lze zavést úhel mezi vektory i v -rozměrném prostoru

#dukaz
Pro každé a platí

  • Celá kvadratická funkce v je větší/rovno nule, tedy je celá nad osou
  • Tedy buď je celá skutečně nad osou nebo se to osy jednou dotkne
  • To znamená, že diskriminant je záporný, maximálně má funkce 1 dvojnásobný reálný kořen, jinak je má imaginární

A proto pro diskriminant tohoto kvadratického polynomu (v ) pak nutně platí
Po pár úpravách dostáváme to, co jsme chtěli dokázat:

Trojúhelníková nerovnost

(podobné jako trojúhelníková nerovnost pro obyčejná čísla)

Pro každé platí

#dukaz
Plyne ze Schwarzovy nerovnosti

Vytvořeno: 2. 12. 2024, 16:38
Poslední aktualizace: 23. 1. 2026, 23:03