Iterační metoda

Telescoping

  • Opakované rozepsání rekurence a následné řešení asymptotického chování výsledné sumy

  • Obecný postup:

    • Určit počet iterací nutných k dosažení koncových podmínek (zjistit pro dosažení )
    • Rozhodnout chování řady
      • Sečíst řadu nebo odhadnout její součet
      • Případně rozhodnout o konvergenci/divergenci
      • Nebo nalézt asymptotické chování posloupnosti částečných součtů divergentní řady
    • Určit, který z členů a kontroluje výsledné chování (vedoucí člen)

Příklad

Mějme rekurentní vztah Předpokládejme
Bez snahy o hledání explicitního řešení nalezněte asymptotická těsnou mez pro .

Postupně iterujeme (dosazujeme - telescoping) (dosazujeme argument T do funkce, tedy ),
po prvních 3 krocích dostaneme

Tohle opakujeme, dokud můžeme

Tedy po iteracích dostaneme

Iterování skončí po propracování se k , tedy dosažení rovnosti

Výpočtem zjistíme

Bereme-li , pak dostáváme vztah

  • Konec sumy bereme protože indexujeme od nuly
  • Ve výrazu se vyskytuje součet konvergentní řady (geometrická s ) a proto
  • Ve výrazu můžeme upravit na (prohození a ) a proto
Proč lze prohodit a ?

Závěr:

  • Víme, že , tedy
  • Tedy vedoucí člen pro velká je ve výrazu
  • Tedy

Vytvořeno: 28. 11. 2024, 22:43
Poslední aktualizace: 28. 11. 2025, 22:18