share: true
aliases:
- Partikulární řešení

Partikulární řešení

je nějaké partikulární řešení LRRsKK rovnice s pravou stranou
Typicky toho řešení uhodneme pomocí několika šikovných pozorování

#veta Partikulární řešení LRR s kvazipolynomiální pravou stranou

Uvažujme homogenní LRRsKK řádu s konstantními koeficienty

a nechť je kvazipolynom, tedy , pro nějaký polynom a číslo .

Definujeme následujícím způsobem:

pokud je charakteristické číslo (tedy kořen) uvažované LRR, pak nechť je jeho násobnost
jinak nechť

Potom existuje polynom stupně stejného jako takový, že posloupnost je řešením uvažované LRR.

! Pozor: v tomto případě nutně není charakteristické číslo, prostě jen nějaké číslo
Podívám se na Řešení (které stejně musím spočítat), kolikanásobná je jakožto charakteristické číslo
O polynomu nic moc nevíme, pouze jen to, že má stejný stupeň jako polynom

Příklad 1

Zadání

Uvažme LRRsKK prvního řádu s konstantními koeficienty
s počáteční podmínkou

Řešení S_0

Charakteristickým polynomem je polynom prvního stupně
který má právě jeden reálný kořen (s násobností )
Libovolné řešení homogenní rovnice je tvaru pro nějakou konstantu . Tento postup již známe z minula, nyní pojďme najít partikulární řešení.

Partikulární řešení

Pravá strana je kvazipolynom tvaru

Partikulární řešení proto hledáme ve tvaru
Dosazením do původní rovnice za dostaneme rovnici

A po roznásobení dostáváme rovnici

která má být platná pro všechna .

To je možné pouze pokud platí následující rovnice (tedy vnitřek závorek musí být 0):

tedy řešením této soustavy je

Libovolné řešení naší původní rekurence má proto tvar

Musíme ale zahrnout i počáteční podmínku , což nám implikuje že

KONEČNÝ VÝSLEDEK tedy máme

Vytvořeno: 28. 11. 2024, 16:52
Poslední aktualizace: 1. 12. 2025, 23:40