Taylorova věta

#veta Taylorova věta

Nechť existuje okolí bodu takové, že funkce v něm má konečnou -ní derivaci.

Pak -tý zbytek v Taylorově vzorci lze pro každé zapsat ve tvaru kde číslo (ksí) závisí na a , a leží uvnitř intervalu s krajními body a .

Tento tvar zbytku nazýváme Lagrangeův tvar zbyku.

  • Interval u nelze napsat jako klasický interval, protože nevím jestli leží vlevo nebo vpravo od , tedy buď nebo
    ../Attachments/Pasted image 20241116123544.png
  • Tato věta nám umožňuje odhadovat chybu aproximace
  • Hodnota závisí na a , je ji proto potřeba chápat ve smyslu
Poznámka pro výpočet

Pro výpočet chyby je vhodné vzorec uvažovat v absolutní hodnotě, jde nám o velikost chyby. Nezajímá nás, jestli je větší/menší. Zvlášť při práci např. s je lze odhadnout .

Příklad

Určete, jaké chyby se dopustíme, když pro výpočet čísla použijeme hodnotu Taylorova polynomu funkce třetího stupně v bodě 0 vyhodnoceného v bodě

Dosazením dostaneme funkční hodnotu Taylorova polynomu v

Podle Taylorovy věty platí rovnost kde zbytek je tvaru O čísle víme, že leží mezi středem () a mezi (), tedy lze to už napsat jako interval
Navíc umíme odhadnout velikost , platí nerovnost

Celkem lze tedy chybu hrubě odhadnout jako

Tedy náš výpočet se od reálné hodnoty liší maximálně o

Vytvořeno: 14. 11. 2024, 16:59
Poslední aktualizace: 6. 11. 2025, 15:57