Zbytek v Taylorově vzorci

#definice Zbytek v Taylorově vzorci

Nechť funkce má v bodě konečnou -tou derivaci.
Pro všechna přípustná položme Potom vztah nazýváme Taylorovým vzorcem.

nazýváme -tým zbytkem v Taylorově vzorci.

(R = residuum / chyba)

Zbytek lze také zapsat v Lagrangeově tvaru a vypočítat pomocí Taylorovy věty

#veta Chování zbytku

Nechť funkce má v jistém okolí bodu spojitou -tou derivaci.
Pak pro zbytek v Taylorově vzorci platí

  • je bod, ve kterém jsme vytvořili Taylorův polynom

  • Čím blíže se blížíme k , tím jde zbytek k nule, stejně tak i jmenovatel jde k nule

  • Tedy zbytek jde k nule rychleji, než

    • Lze zapsat jako pro (vztah malé o)

  • Je v tom schováno, že i když za dáme menší exponent, stále to jde limitně k nule (využito v důkazu věty o nejlepší aproximaci, kde je ve jmenovateli )

  • Spojitá -tá derivace znamená, že a z toho plyne, že

#todo #dukaz Pomocí opakovaného použití l'Hospitala

Vytvořeno: 14. 11. 2024, 16:34
Poslední aktualizace: 30. 10. 2025, 21:26