share: true
aliases:
  - Taylorova řada
  - Maclaurinova řada
  - Taylor
  - Maclaurin
  - Známé Taylorovy řady

Taylorova řada

#definice Taylorova řada

Nechť reálná funkce reálné proměnné má v bodě konečné derivace všech řádů.
Mocninnou řadu
potom nazýváme Taylorovou řadu funkce v bodě .

Vzorec vychází z Taylorova polynomu, zde ale pokračujeme až do
V bodě mám všechny derivace
Snaha je, pokud bude konvergovat, nejvíce se přiblížit k původní funkci
Taylorova řada funkce definuje na oboru konvergence součtovou funkci
Nemá smysl funkci aproximovat Taylorovým polynomem mimo obor konvergence příslušné Taylorovy řady
-tý částečný součet Taylorovy řady je vlastně -tý Taylorův polynom

Taylorova řada v bodě se často nazývá Maclaurinova řada, stejně tak mluvíme o Maclaurinovu polynomu.

Příklad 1

Nalezněte Taylorovu řadu funkce v bodě a její obor konvergence

Stejným postupem jako u Taylorova polynomu získáme Taylorovu řadu ve tvaru
Již víme, že tato řada konverguje absolutně na a její součtovou funkcí je právě (dle definice)
V tomto případě je tedy funkce rovna součtu své Taylorovy řady (definitoricky)

Nalezněte Taylorovu řadu funkce v bodě a její obor konvergence

Stejným postupem jako u Taylorova polynomu získáme Taylorovu řadu ve tvaru
Proveďme "substituci" , vytkněme ven jako konstantu, můžeme zahodit, tedy
Obor konvergence: Pomocí d'Alembertova kritéria, narveme do absolutní hodnoty, vyšetřujeme absolutní konvergenci, počítáme limitu
Využijeme toho, že poloměr konvergence řady je
Původní řada tedy konverguje pro všechna , tedy pro pro které , tedy pro

../Attachments/Pasted image 20241114151232.png

Vytvořeno: 31. 10. 2024, 22:17
Poslední aktualizace: 30. 10. 2025, 21:26