Taylorův polynom

("zobecnění tečny", někdy tzv. polynomiální tečna)

#definice Taylorův polynom

Nechť reálná funkce reálné proměnné má v bodě konečnou -tou derivaci.
Polynom nazýváme -tým Taylorovým polynomem funkce v bodě .

Pozn.: značí -tou derivaci funkce , viz Derivace vyšších řádů

#veta

Nechť reálná funkce reálné proměnné má v bodě konečnou -tou derivaci.
Potom Taylorův polynom existuje a je to jediný polynom stupně nejvýše takový, že
žé

Tedy -tá derivace Taylorova polynomu v bodě je stejná jako -tá derivace původní funkce v bodě

(0. derivace je vlastně obyčejná funkční hodnota)

Pozn.: Počítání v bodě je celkem časté, budeme pro jednoduchost místo psát pouze

Příklad 1.0

Nalezněte -tý Taylorův polynom funkce v bodě

Pro libovolné platí a proto , dostáváme tedy

../Attachments/taylor-exp-ukazka.png

Příklad 1.1

Nalezněte -tý Taylorův polynom funkce v bodě

Pro libovolné platí a proto , dostáváme tedy

Příklad 2

Nalezněte -tý Taylorův polynom funkce v bodě

Derivace funkce se cyklicky opakují

Perioda opakování by tedy byla 4, ale zároveň si všimněme, že s periodou 2 se střídají plusy a mínusy.
Což v závislosti na lze zapsat jako

Proto pro sudé členy:
a pro liché členy:

Jelikož pro sudé členy je výsledek zderivované funkce , nemá smysl dosazením do původního vzorce sčítat nuly.
Proto vezmeme v potaz pouze liché členy - a to tak, že proměnnou sumy () zmodifikujeme na . Tím ale nemůžeme jako horní hranici napsat , ale .
Výsledkem pro (sudé) nebo (liché) Taylorovy polynomy platí

Vytvořeno: 31. 10. 2024, 19:20
Poslední aktualizace: 30. 10. 2025, 21:26