Rychlost růstu součtů

#veta Odhadování rychlosti růstu různých součtů

Nechť je spojitá (a monotonní) funkce na intervalu a .

  1. Je-li klesající, pak lze součet odhadnout zespoda a ze shora jako
  2. Je-li rostoucí, pak lze součet odhadnout zespoda a ze shora jako

Geometrická interpretace odhadu

  • Mějme obdélníky široké a vysoké
  • Je jedno, jestli je kreslíme vlevo nebo vpravo od bodu, obsahy vyjdou stejně

Ukázka pro rostoucí funkci:
../Attachments/Pasted image 20241025184200.png

  • Levý graf: ukázka pro levou stranu vzorce ()
  • Pravý graf: ukázka pro pravou stranu vzorce ()

Důkaz

#dukaz

#todo přepsat do latexu

../Attachments/Pasted image 20241025184715.png

  • ! Pozor na posunutí mezí sum a integrálů
  • V posledním kroku jsme posunuli meze sumy na až .
    • U modré nerovnosti by tak chyběl poslední člen, tak jsme ho explicitně přidali
    • U červené nerovnosti by tak chyběl první člen, tak jsme ho explicitně přidali

Příklad

Pomocí odhadu odhadněte rychlost růstu posloupnosti s členy Nyní je rostoucí na intervalu a proto pro každé platí

Pro velká je největším členem resp. , přesněji z věty o limitě sevřené posloupnosti plyne

Vytvořeno: 25. 10. 2024, 18:31
Poslední aktualizace: 26. 10. 2025, 21:01