Srovnávací kritérium

Postačující podmínka konvergence řad

#veta Srovnávací kritérium

Buďte a číselné řady.
Potom platí následující 2 tvrzení:

  1. Nechť existuje takové, že pro každé větší než platí
    a nechť řada konverguje.
    Potom řada absolutně konverguje.
  2. Nechť existuje takové, že pro každé větší než platí
    a nechť řada diverguje.
    Potom řada diverguje.

  • Pokud od nějakého indexu lze takto srovnat členy a

  • Tedy nerovnost nemusí platit pro všechny členy, stačí že platí od určitého členu dál do nekonečna

    1. bod: Pokud konverguje, tzn. že řadu jsem ze shora odhadl něčím, co tvoří číselnou řadu - tedy samo o sobě už jde k nule dost rychle, tedy i bude konvergovat
    1. bod: Pokud diverguje, tzn. - tedy jsem zespodu vytlačil do a také diverguje

Použití:

  • Podobně jako u věty o limitě sevřené posloupnosti, musíme řady odhadnout vhodnými nezápornými řadami
  • Pokud si myslím, že původní řada je konvergentní, snažím se ze shora odhadnout její členy tak, abych měl stále ještě konvergentní řadu
  • Pokud si myslím, že původní řada je divergentní, snažím se zespoda odhadnout její členy tak, abych měl stále ještě divergentní řadu

Příklad

(desetinný rozvoj)

Buď posloupnost, jejíž členy nabývají hodnot z množiny .
Potom klademe Řada konverguje a její součet jednoznačně definuje jisté reálné desetinné číslo.

Proč?

Konvergence plyne ze srovnávacího kritéria, protože jistě platí

Tedy pravá část je geometrická posloupnost, kde první člen je a kvocient
A tedy víme, že řada konverguje a její součet je

Vhodné řady na použití srovnání

Pozor, následující tabulka je obecná. Pro srovnávací kritérium uvažujme pouze nezáporné členy!

é

Vytvořeno: 25. 10. 2024, 17:20
Poslední aktualizace: 8. 8. 2025, 16:46