Bolzano-Cauchy kritérium

Nutná a postačující podmínka konvergence řad
Vycházíme z Bolzanova-Cauchyho věty pro posloupnosti (BI-MA1)

#veta Bolzano-Cauchy

Řada konverguje právě tehdy, když ()

  • pro každé
  • existuje (zarážka) tak,
  • že pro každé a platí
  • může být klidně přirozené (tedy ), to zde není úplně podstatné
  • Vždy místo něj můžeme volit jako zarážku například
Symbolicky
í

Důkaz

Řada je konvergentní, právě když posloupnost částečných součtů je konvergentní

íí

kde

Dále vycházíme z Bolzanova-Cauchyho věty pro posloupnosti

í

Rozdíl částečných součtů si přepíšeme pomocí součtů (sumy)

Ú
  • BÚNO si vezmeme, že , tedy levá suma je "delší"
  • Když je od sebe odečteme, zbydou nám jen členy, které jsou navíc v té "delší" sumě ("ocásek")
  • A to už je vlastně odpovídá našemu novému B.C. kritériu pro řady (pak už stačí jen přeindexování pro pohodlnost, abychom nemuseli řešit, který z indexů je větší – místo toho jen zvolíme a od něj dál bereme počet členů)

Vytvořeno: 8. 8. 2025, 16:46
Poslední aktualizace: 8. 8. 2025, 17:20