Nutná podmínka konvergence číselné řady

Využíváme k vyvrácení konvergence

#veta Nutná podmínka konvergence řady

Pokud řada konverguje, potom () pro limitu sčítanců platí

  • ! Pozor na obrácení implikace. Pokud víme jen to, že limita jde k nule, nic nám to o konvergenci řady neříká!
    • Nestačí nám totiž jen, že limita jde k nule, ale musí jít k nule "dostatečně rychle"
  • Správné použití: Když limita nejde k nule nebo neexistuje, řada je divergentní
  • K tomu, aby bylo možné řadu sečíst, tak posloupnost částečných součtů musí mít nulovou limitu (vycházíme z definice číselné řady)

Tedy obměněnou implikací můžeme větu přepsat na vhodnější pro naše použití jako:

#veta Postačující podmínka divergence řady (vyvrácení konvergence řady)

Pokud je limita sčítanců nenulová nebo neexistuje, potom () řada diverguje.

#dukaz
Jdeme zleva, vycházíme z toho, že řada je konvergentní.
Chci dokázat, že jde k nule.

Trik: (od součtu všech členů odečtu součet skoro všech, zbyde mi pouze -tý člen, naše )

Označme jako součet naší konvergentní řady.
Pro libovolné kladné celé platí:

úíá

(viz Trojúhelníková nerovnost)
Protože , dostáváme z věty o limitě sevřené posloupnosti, že

Příklad

Mějme řadu

Dle definice číselné řady

= využili jsme vzoreček aritmetické posloupnosti s diferencí a prvním členem

Potom

Tedy limita částečných součtů je divergentní, potom i původní řada je divergentní.

Dle nutné podmínky výše

Potom i původní řada je divergentní.

Vytvořeno: 8. 8. 2025, 16:46
Poslední aktualizace: 3. 11. 2025, 13:22