Zobecněný Riemannův integrál

Zobecněnost - tvářím se, že interval není nekonečný, někde ho uříznu a pro zbytek udělám limitu

#definice Zobecněný Riemannův integrál

Nechť je funkce definovaná na intervalu pro nějaké a ,
která je Riemannovsky integrabilní na intervalu pro každé .

Pokud existuje konečná limita pak její hodnotu značíme a říkáme, že integrál konverguje.

#poznamka Absolutní konvergence

Pokud konverguje, pak i konverguje. Pak říkáme, že má absolutně konvergentní zobecněný Riemannův integrál.

  • Tedy vpravo (bod ) je ten problematický bod, například nebo tam mám nějakou asymptotu
  • Umím spočítat Riemannův integrál na pěkném uzavřeném intervalu
  • Zkusím udělat integrál na intervalu a dívám se, co se děje, když posílám k tomu zleva
  • Pokud tato limita existuje, její hodnota je náš zobecněný Riemannův integrál

Analogicky definujeme předchozí pojmy i pro interval (prohozená uzavřenost/otevřenost zleva/zprava)

Místo k nekonečnu se můžeme blížit třeba i ke svislé asymptotě

Příklad 1

Zde je problematický pravý bod, funkce pokračuje až do
Někde si zvolíme bod a limitně ho posíláme do

Tedy obsah oranžové plochy je

../Attachments/Pasted image 20241024161412.png

Příklad 2

Zde je problematický levý bod, hodnota funkce jde do (protože )
Někde si zvolíme bod a limitně ho posíláme k zprava

Tedy obsah červené plochy je

../Attachments/Pasted image 20241024162118.png

Vytvořeno: 24. 10. 2024, 16:00
Poslední aktualizace: 14. 10. 2025, 22:58