Newtonova formule

(také Newton-Leibnizova formule)

Spojí nám souvislosti mezi neurčitým integrálem a Riemannovým určitým integrálem.
Umožňuje nám spočítat Riemannův integrál bez použití limit.

#definice Newtonova formule

Nechť je funkce spojitá na intervalu s primitivní funkcí .
Pak platí rovnost

Někdy se také v anglických textech značí jako

Důkaz

#dukaz

Uvažme dělení intervalu .
Použijeme Lagrangeovu větu o přírůstku funkce na funkci a dělící intervaly postupně pro

kde

= zde jsme využili Lagrangeovu věta
= toto je vlastně přímo definice integrálního součtu

Využíváme tzv. teleskopickou sumu:
../Attachments/Pasted image 20241005140749.png

  • Zelené - přičteme "nulu"
  • Přeuzávorkujeme tak, že odečítáme od sebe krajní body "malých" dělících intervalů
  • Opakujeme tak dlouho, než nám zbydou napravo jen součty
  • Tím pádem tedy rozdíl můžeme vyjádřit jakou součet (sumu) dělících intervalů

Takže Uvážíme-li nyní libovolnou normální posloupnost dělení pak

Příklady

Příklad 1

Vypočtěte Riemannův integrál funkce na intervalu
Primitivní funkcí k je funkce , pak

Příklad 2

Vypočtěte Riemannův integrál funkce na intervalu
Primitivní funkcí k je funkce , pak ../Attachments/Pasted image 20241005142936.png

Vytvořeno: 5. 10. 2024, 13:36
Poslední aktualizace: 30. 7. 2025, 22:40