Racionální funkce, rozklad na parciální zlomky

Pozorování

Pro racionální (lomené) funkce ve tvaru kde a jsou polynomy, lze dát obecný algoritmus pro jejich integraci (metoda integrace pomocí rozkladu na parciální zlomky)

  • Zlomek roztrhneme na zlomky, kde ve jmenovatelích máme polynomy maximálně stupně 1 nebo kvadratický polynom
  • ! My budeme používat pouze pro případy, kdy ve jmenovateli (naše ) máme kvadratický polynom (maximálně stupeň 2),
    v ostatních případech to půjde nejspíš podle substituce nebo per partes

Algoritmus

Integrujeme kde stupeň

  • Pokud to lze, vydělíme polynom polynomem , pak
  • stupeň polynomu je nejvýše 1 (vždy o stupeň menší, než ten původní)
  • polynom zintegrujeme snadno

  • Pokud stupeň , použijeme (jen jsme vytknuli konstantu a tvar jednoduše zintegrovali dle známé tabulky)

  • Pokud stupeň , mohou nastat 3 různé situace:

    • má 2 různé reálné kořeny , převedeme na (parciální zlomky) a použijeme předchozí bod (vyjdou nějaký zintegrovaný polynom + jeden logaritmus + druhý logaritmus)
    • má dvojnásobný reálný kořen
    • nemá reálné kořeny doplnění jmenovatele na čtverec, odhalení vhodné substituce, integrál pak vede na nebo

  • Než pamatovat si tyto vzorečky, je lepší pochopit postupy výpočtů v příkladech níže.

Příklady

Stupeň q=1

  • Vydělíme polynomy
  • Jednoduchá úprava dle tabulkového integrálu na

../Attachments/parcialni-zlomky-stupen1.png

Stupeň q=2, dva různé kořeny

  • Rozdělíme na parciální zlomky
  • Jednoduchá úprava dle tabulkového integrálu na

../Attachments/parcialni-zlomky-stupen2-ruzne-koreny.png

Stupeň q=2, nemá reálné kořeny (úprava na čtverec)

  • Doplníme na čtverec
  • Pokud je čtverec (jmenovatel) tvaru ě, substituce na tabulkový integrál
  • Jinak vytkneme, viz níže

../Attachments/parcialni-zlomky-stupen2-nema-koreny.png

Stupeň q=2, nemá reálné kořeny (vytknutí)

  • Doplníme na čtverec (již máme)
  • Pokud je čtverec (jmenovatel) tvaru ě, substituce na tabulkový integrál
  • Jinak vytkneme, abychom se do tohoto tvaru dostali

../Attachments/parcialni-zlomky-stupen2-nema-koreny-vytknuti.png

Stupeň q=2, dvojnásobný kořen

  • Chceme vytvořit tvar
  • Do čitatele si napíšeme derivaci jmenovatele (tyrkysová), vhodným přičtením/odečtením konstant a násobením vytvoříme původní tvar
  • Čitatel rozdělíme: osamostatníme derivaci + zbytek do dalšího zlomku
  • Na 1. integrál použijeme pravidlo
  • Na 2. integrál substituce na tabulkový integrál

../Attachments/parcialni-zlomky-stupen2-dvojnasobny-koren.png

Vytvořeno: 4. 10. 2024, 21:17
Poslední aktualizace: 4. 8. 2025, 12:48