Substituce v neurčitém integrálu II.

#veta Věta o substituci II. v neurčitém integrálu

Nechť

  • je definována na intervalu ,
  • je bijekce intervalu na s nenulovou konečnou derivací v každém bodě intervalu (čili je to monotonní funkce).

Pak platí

  • Bijekce - protože se potřebuji vracet zpátky, potřebuji invertibilitu

  • "stará proměnná = funkce nové proměnné" (oproti Substituce v neurčitém integrálu I.) ,

  • Vysvětlení věty výše

    • Snažím se spočítat integrál (ten napravo)
    • Místo budeme počítat s (ten integrál nalevo)
    • Tento upravený integrál někde bokem dopočtu, dostanu se k primitivní funkci
    • Dosadím zpět. Protože , tak inverze je (proto jsme vyžadovali bijekci - invertibilitu)

  • ! Jelikož zde máme inverzi, je vždy nutné si rozmyslet (a do testu rozepsat) intervaly!

#dukaz
Pomocí věty o derivaci složené funkce a derivaci inverzní funkce odvodíme.
Derivujeme pravou stranu a chceme se dostat k původnímu tvaru pod integrálem.
Použijeme

(1) derivace složené funkce
(2) derivace inverzní funkce
(3) nahrazení , protože z levého integrálu z věty víme, že je primitivní funkcí k (opak derivace)
(4) zlomek se pokrátí, složení je identita (díky předpokladu na bijekci)

Příklad

Vypočtěte

  1. Integrand je definován na intervalu , abychom se zbavili odmocniny ve jmenovateli, položme protože ,
    a tedy
    a díky omezení na interval, kde je cosinus kladný, stačí i bez abs. hodnoty jen

  2. Funkce je na intervalu rostoucí s nenulovou derivací !

  3. Zvolme

    ( je derivací )

a protože , tak platí (inverzní funkce k sinu)

Vytvořeno: 4. 10. 2024, 20:40
Poslední aktualizace: 26. 10. 2025, 15:28