Substituce v neurčitém integrálu I.

#veta Věta o substituci I. v neurčitém integrálu

Nechť pro funkce a platí

Pak funkce má primitivní funkci na intervalu a platí

Často zapisujeme zkráceně

tedy

  • Klíčová myšlenka:

    • Část pod integrálem je derivace složené funkce, kde její vnější část je a vnitřní
    • Tedy ze znalosti derivace složené funkce: zderivujeme vnější a vynásobíme derivací vnitřní což je vlastně levá část pod integrálem

  • ! Substituce není jen "přeznačení", jak známe ze střední školy. Je potřeba si dávat pozor, co na čem závisí

  • "nová proměnná = funkce staré proměnné" (oproti Substituce v neurčitém integrálu II.) ,

#dukaz

  • je primitivní funkcí k funkci
  • Tedy pro každé
  • Podle věty o derivaci složené funkce (zderivuj vnější, dosaď vnitřní, krát zderivuj vnitřní) dostaneme
žé
  • Tedy vidíme, že derivací jsme získali to samé jako v zadání pod integrálem

Příklad

Vypočtěte Použijeme substituci
Potom

Proto

Příklad 2

Vypočtěte

Nejprve upravme integrant pomocí znalosti trigonometrických funkcí

Zvolme

( je derivací )

Potom

Protože na je (záporný), platí rovnost S mínusem před je argument logaritmu kladný i bez absolutní hodnoty, a není třeba ji psát.

Vytvořeno: 4. 10. 2024, 16:50
Poslední aktualizace: 2. 8. 2025, 20:43