Asymptoty

"asymptotika" - limitní chování

#definice Svislé asymptoty

Řekneme, že funkce má v bodě asymptotu právě když

  • Pokud se jedná o spojitou funkci, tak nikde tuto (svislou) asymptotu nemá
  • Někdy se svislá asymptota nazývá také jako "singularita"
#definice Lineární asymptoty

Řekneme, že funkce má v (resp. ) asymptotu právě když

  • Tedy když jdeme do nekonečna, tak hodnota funkce se limitně blíží k té přímce
  • Jelikož se jedná o přímku, musí se funkce v nekonečnech chovat "lineárně"
    • Tedy ne každá funkce má asymptotu
    • Např. se chová kvadraticky
Zjednodušení výpočtu lineární asymptoty v případě konečné limity

Pokud tak se nemusíme zabývat počítáním a .
Ihned vidíme, že bude mít asymptotu

Proč?
Vychází z definice:

Tedy požadavek na nulovou limitu je splněn a asymptotou je .
(platí i pro )

Hledání asymptot

Svislé asymptoty

  • Odhalíme body, kde je funkce nedefinovaná
  • Pro každý takový bod spočítáme jednostranné limity
Závěr

Pokud je alespoň jedna z nich , máme svislou asymptotu

Lineární asymptoty

(před pokračováním je vhodné si zkontrolovat, jestli nemůžeme využít zjednodušený výpočet v případě konečné limity - viz výše)

  • Požadujeme, aby se funkce chovala "lineárně"
  • Tedy podíl (naše funkce k lineární funkci) musí mít konečnou limitu

Z definice máme

Toto nám tedy říká, že funkce se chová lineárně, udává nám směrnici.

Podobně

kde jsme spočetli v předchozím bodu.
Toto nám udává posun.

Závěr

Pokud a splňují výše uvedené rovnosti (tedy limity existují a jsou konečné), pak přímka je asymptotou funkce v .
Obdobně platí pro .

Vytvořeno: 30. 4. 2025, 21:42
Poslední aktualizace: 3. 8. 2025, 17:39