l'Hospitalovo pravidlo

[lopitalovo pravidlo]

#veta l'Hospitalovo pravidlo

Nechť pro funkce a a bod platí:

  1. nebo
    (tedy máme výraz typu nebo )
  2. existuje okolí bodu splňující
    (tedy chceme, aby oba podíly funkcí i derivací byly definované na celém okolí bodu , nesmí tam vzniknout díry!)
  3. existuje limita podílu derivací
    (nikoliv limita derivace podílu!)

Potom existuje limita a platí

  • Vychází z Lagrangeovy věty, na pozadí je přírůstek funkce, který chceme mít definovaný na celém okolí (zde proto 2. předpoklad na okolí!)
  • ! Pokud v průběhu počítání zjistíme, že limita na pravé straně neexistuje, nelze l'Hospitalovo pravidlo použít
  • Pravidlo lze opakovat víckrát po sobě, podobně jako u podílového kritéria
Definice v kruhu?

Pozor, na výpočet limity funkce nelze (s naší definicí derivace !!!) l'Hospitalovo pravidlo použít.

  • Ve výpočtu bychom totiž použili derivaci , tu jsme ale takto definovali díky znalosti "známé" limity
  • Jednalo by se tedy o výpočet v kruhu a to je faul

Pokud ale vezmeme znalost jako danou, odvozenou např. jiným způsobem, pak je toto použití l'Hospitala zcela validní.

Příklad

Příklad

Vypočtěte limitu

  • Ač na první pohled nevypadá, že by šlo využít l'Hospitalovo pravidlo, vhodnou úpravou lze
  • Tedy lze ho využít i na příklady tvaru

Varianta 1 (správně):

ž

Varianta 2 (slepá ulička):

ž

Vytvořeno: 24. 4. 2025, 20:40
Poslední aktualizace: 24. 4. 2025, 23:59