Monotonie funkce

Pomocné značení - Vnitřek intervalu

Nechť je interval s krajními body a (uzavřený, polouzavřený, otevřený, ...)
Potom vnitřkem intervalu nazveme otevřený interval a značíme ho

#veta Derivace a typy monotonie

Nechť

(předpoklady Lagrangeovy věty)

Potom platí:

  • je rostoucí na
  • je klesající na
  • je ostře rostoucí na
  • je ostře klesající na
  • je konstantní na
  • Pozn. Díky spojitosti víme, že pokud je funkce spojitá na uzavřeném intervalu a máme informaci o monotonii na otevřeném intervalu , pak platí stejný typ monotonie i na původním uzavřeném
Hlavní výsledek věty

Je-li funkce diferencovatelná, pak o tom zda roste/klesá rozhoduje znaménko její derivace!

../Attachments/Pasted image 20250424171754.png

Důkaz

#dukaz

Dokažme 1. tvrzení: je rostoucí na

Nechť taková, že .
Podle Lagrangeovy věty aplikované na interval existuje tak, že (využíváme ji, protože chceme porovnávat přírůstek mezi a )

Protože , tak i
Protože , je (plyne ze zadání, z postačující podmínky)
Navíc (délka intervalu je >0)

Tudíž

Celkem jsme pro libovolná splňující ukázali, že , a proto je rostoucí na .

Další případy obdobně, jen se nám změní znaménko.

Vytvořeno: 24. 4. 2025, 17:01
Poslední aktualizace: 1. 6. 2025, 17:34