Lagrangeova věta o přírůstku funkce

[lagrandžova věta]

#veta Lagrangeova věta o přírůstku funkce

Nechť funkce splňuje podmínky

Potom existuje bod tak, že nebo ekvivalentně

  • je přírůstek (změna) funkce na intervalu
  • Lze ho tedy vyjádřit pomocí hodnoty derivace funkce a délky tohoto intervalu (ekvivalentní popis na konci věty)
  • Tvrzení věty je pouze existenční, o víme jen to, že leží někde v intervalu , ale ne jeho hodnotu!
  • Využití:
    • Z vlastností 1. derivace lze odvozovat vlastnosti funkce samotné
    • Pokud víme, že derivace je kladná na , pak je i (kladné), a a tudíž
    • Pokud víme, že derivace je záporná na , pak je i (záporné), a a tudíž
    • To bude mít důležité důsledky pro monotonii a konvexitu/konkavitu

Pozorování

  • Řekněme, že následující graf vyjadřuje vztah rychlosti na čase
  • Červená úsečka nahoře vyjadřuje průměrnou rychlost
  • To ale znamená, že někdy v průběhu jsme se nutně museli i pohybovat touto průměrnou rychlostí - to vyjadřuje červená tečna dole

../Attachments/Pasted image 20250424163934.png

  • Tedy existuje tečna se stejným sklonem jako přímka procházející body a

Důkaz

#dukaz s využitím Rolleovy věty

Položme funkci

  • Vlastně jen vezmeme funkci a kompenzujeme lineární přírůstek (odečítáme průměrný přírůstek). Po dosazení krajních hodnot nám vznikne:
    • Pokud , celá pravá část nám zmizí a zbyde jen , tedy
    • Pokud , jmenovatel se závorkou se nám pokrátí a zbyde jen , tedy , tedy
  • Tím jakoby od "modré" funkce z grafu odečteme "červenou" přímku a vznikne nám funkce , která splňuje podmínky Rolleovy věty (na krajích má stejné funkční hodnoty)

Proto podle Rolleovy věty existuje tak, že

Vytvořeno: 24. 4. 2025, 16:32
Poslední aktualizace: 22. 5. 2025, 12:31