Rolleova věta

[roleova věta]

#definice Rolleova věta

Nechť funkce splňuje podmínky

  • je spojitá na intervalu
  • má derivaci v každém bodě intervalu (tedy má v každém bodě i tečnu), nikde na grafu není žádný skok/"zoubeček")
  • (na krajích intervalu má stejnou funkční hodnotu)

Potom existuje bod tak, že (tečna je rovnoběžná s osou - "vodorovná")

  • Použijeme ji k odvození Lagrangeovy věty
  • Jednoduchým pozorováním na grafu
    • Požadujeme, aby funkční hodnoty na začátku a konci intervalu byly stejné
    • Pokud by se funkce nějak vlnila nahoru a dolů, vždy se nějak musí vrátit na původní hodnotu
    • Tedy někde určitě bude alespoň jeden bod, kde se "směr otočí" a bude se funkce "vracet" – zde bude tečna rovnoběžná (vyznačeno červeně)

../Attachments/Pasted image 20250424160703.png

xya®¯bf(a)=f(b)f(¯)f(®)ha;bihA;Bi

(opravený obrázek - prohozeny , ať je značení v souladu s důkazem níže)

Důkaz

#dukaz

Pokud je funkce konstantní na intervalu , pak lze volit libovolné číslo z intervalu .

Pokud funkce není konstantní na intervalu , pak je uzavřený interval (plyne ze spojitosti funkce )
Existují tedy tak, že (funkční hodnoty nabývají hodnot krajních bodů)

Protože (na krajích intervalu má funkce stejnou funkční hodnotu), leží alespoň jeden z bodů uvnitř . Označme tento bod .
Funkce má v bodě lokální extrém, a proto .
Funkce má totiž derivaci v každém bodě intervalu .

Vytvořeno: 24. 4. 2025, 15:56
Poslední aktualizace: 2. 6. 2025, 20:52