Lokální extrémy funkce

vs Globální extrémy funkce

#definice Lokální extrémy funkce

Řekneme, že funkce má v bodě

  • 1 ) lokální maximum
  • 2 ) lokální minimum
  • 3 ) ostré lokální maximum
  • 4 ) ostré lokální minimum

právě když existuje okolí (v krajním bodě jen jednostranné) bodu tak, že

  • 1 ) pro všechna platí
  • 2 ) pro všechna platí
  • 3 ) pro všechna platí
  • 4 ) pro všechna platí
#veta Nutná podmínka existence lokálního extrému

Nechť funkce má v bodě lokální extrém.
Potom pro derivaci funkce v bodě platí:

  • buď (tzv. stacionární bod - tam, kde je derivace nulová)
  • nebo neexistuje
Obměněnou implikací

Obměněnou implikací:
Pokud , pak v bodě není extrém

  • Využití: Na vyvrácení existence - Umožňuje nám tvrdit, kde lokální extrém nenastává

  • Využití: Díky větě víme, že extrém má smysl hledat v bodě, kde je derivace nulová (ale možná tam extrém nebude)

  • Například funkce má jistě ostré lokální minimum v bodě a její derivace v bodě neexistuje

  • ! Opačná implikace neplatí, například funkce má sice v bodě nulovou derivaci, ale nemá v něm lokální extrém

Důkaz

#dukaz sporem

Kdyby například platilo

potom lze nalézt tak, že pro všechna (tedy z okolí ) platí

(tedy že pokud funkce má limitu větší než 0, existuje okolí, na kterém je i funkce větší než 0)

Tudíž (plyne z úpravy zlomku výše, vynásobením jmenovatele)

  • pro
  • pro

Podle definice lokální extrému by muselo platit, že na celém okolí (tedy vlevo i vpravo od ) je buď , nebo .
Zde ale na půlce okolí (vlevo od ) máme a na pravé půlce (vpravo od ) máme - spor!

Funkce tedy v nemá lokální extrém.

Podobně lze postupovat v případě , jen se nám všude otočí nerovnosti.

Vytvořeno: 24. 4. 2025, 15:29
Poslední aktualizace: 26. 4. 2025, 23:50