share: true
aliases:
  - Základní vlastnosti derivace
  - vlastnosti derivace
  - vztah diferencovatelnosti a spojitosti
  - derivace součtu, součinu, podílu
  - derivace složené funkce
  - derivace inverzní funkce
  - derivace vyšších řádů

Základní vlastnosti derivace

Vztah diferencovatelnosti a spojitosti

#veta Vztah diferencovatelnosti s spojitosti

Je-li funkce diferencovatelná (, limita je konečná) v bodě , pak je spojitá v bodě .
Tj. platí

Naopak to nefunguje – spojitá funkce nemusí být diferencovatelná
Např. nemá derivaci v bodě
Pokud není spojitá v bodě , pak není ani diferencovatelná v bodě (získáno obměněnou implikací)

Derivace součtu, součinu, podílu

#veta Derivace součtu, součinu, podílu

Nechť funkce a jsou diferencovatelné v bodě .
Potom platí

Předpoklad diferencovatelnosti nám zaručuje, že se nám nikde neobjeví nedefinované výrazy jako např.
Konstantu lze "vytknout"

#dukaz Důkaz derivace podílu

Derivace složené funkce

Nechť

je funkce diferencovatelná v bodě
je funkce diferencovatelná v bodě

Potom funkce je diferencovatelná v bodě a platí

Derivace inverzní funkce

#veta Derivace inverzní funkce

Nechť

je funkce spojitá a ryze monotonní na intervalu
bod

Má-li inverzní funkce konečnou nenulovou derivaci v bodě , potom má derivaci v bodě a platí což lze po úpravě zapsat též jako

Ve jmenovateli není násobení, je argumentem derivace inverzní funkce!
Pokud je spojitá a ryze monotonní na , pak je spojitá a ryze monotonní na

Využití 1: Na derivaci inverzní funkce, pokud známe derivaci funkce.

Využití 2: Na výpočet hodnoty derivace inverzní funkce, aniž bychom znali předpis inverzní funkce.

Derivace vyšších řádů

#definice Derivace vyšší řádů

Derivací funkce dostáváme novou funkci , jejíž definiční obor může být menší než původní .
Nyní můžeme znovu derivovat a dostáváme .

Rekurzivně tedy definujeme

Příklad:

Vytvořeno: 21. 4. 2025, 17:27
Poslední aktualizace: 31. 5. 2025, 21:42