Spojitost funkce (na intervalu)

(zároveň obsahuje algoritmus, jak dané hledat)
Položme

Protože znaménka a jsou různá, nastane právě 1 ze 3 možností:

• 1 )
• 2 ) Znaménka a jsou různá
• 3 ) Znaménka a jsou různá

Dále postupujeme podle toho, která z těchto možností nastala:

• 1 ) Hledaným bodem je a věta je dokázána, konec.
• 2 ) Položme a (vybírám interval, kde je stále splněna podmínka různosti znamének)
• 3 ) Položme a (vybírám interval, kde je stále splněna podmínka různosti znamének)

(prakticky funguje jako binary search)

Tímto způsobem pokračujeme dále. Pokud někde nastane 1. možnost, pak je věta dokázána.
V opačném případě (pravděpodobně častějším) jsme zkonstruovali posloupnosti splňující

(tedy obě posloupnosti jsou omezené)

( je rostoucí, je klesající - obě monotonní)

(délka -tého intervalu je délka původního děleno )
pro každé

Obě posloupnosti jsou monotonní a omezené, tudíž podle věty o limitě monotonní posloupnosti existují jejich konečné limity

navíc

Obě posloupnosti tedy mají stejnou limitu, označme ji

Ze spojitosti funkce v bodě a Heineho věty nyní plyne

a protože všechna mají různé znaménko od , mohou poslední rovnosti nastat pouze v případě, že .