Limita monotonní posloupnosti

Důsledek Bolzanovy-Weierstrassovy věty

#veta Limita monotonní posloupnosti

Každá reálná monotonní posloupnost má limitu.

Tato limita je konečná, právě když je daná posloupnost omezená.

Důkaz

#dukaz

  • V případě, že je zkoumaná posloupnost neomezená, je z definice limity zřejmé, že

  • Předpokládejme, že je rostoucí a (shora) omezená. Potom podle Bolzanovy-Weierstrassovy věty má posloupnost hromadný bod, označme ho

  • Pokud přidáme i monotonii, bude tento hromadný bod i její limitou:

    • Buď libovolné okolí bodu
    • Potom existuje jisté (prvek té posloupnosti) patřící do
    • Do tohoto okolí ale díky monotonii musí patřit všechny prvky větší než , tedy , kde , protože pro ně nutně platí

Příklad

Limita posloupnosti "harmonických čísel"

(se znalostmi BI-MA2 v tom vidíme částečný součet číselné řady )

Podrobněji

  • Evidentně je ostře rostoucí (protože pro všechna )
  • Tedy je to monotonní posloupnost
  • Tedy určitě má limitu (v tomto případě , chová se asymptoticky ekvivalentně jako - ukážeme si v BI-MA2)

Vytvořeno: 29. 3. 2025, 11:59
Poslední aktualizace: 30. 10. 2025, 13:09