Bolzanova-Weierstrassova věta

(v zahraničních materiálech častěji jen jako Weierstrassova věta, Bolzano je Čech)

#definice Bolzanova-Weierstrassova věta

Každá omezená číselná posloupnost má hromadný bod ležící v .

Důkaz

#dukaz

Pomocí Axiomu úplnosti:

  • Buď omezená posloupnost.
  • Jistě existuje interval takový, že obsahuje všechny členy posloupnosti .
  • Rozdělíme-li tento interval na poloviční intervaly (na 2 půlky) pak alespoň jeden z nich (možná i oba dva) obsahuje nekonečně mnoho členů posloupnosti
  • Označme tento nový interval
  • Tento proces lze dále opakovat - induktivně sestrojíme systém vnořených intervalů z nichž každý obsahuje nekonečně mnoho členů a pro jejichž délky platí
  • Protože jsme půlili, tak délku -tého intervalu lze vyjádřit jako délka prvního lomeno . Takovou limitu už umíme spočítat, vychází

  • Podle axiomu úplnosti tedy existuje reálné patřící do každého z intervalů a zároveň je hromadným bodem posloupnosti (zároveň hromadných bodů může být i více, ale to je nám jedno, stačí že jsme našli alespoň jeden)
    • Protože délky intervalů konvergují k nule, lze pro libovolné okolí nalézt dostatečně velké na to, aby i celý interval patřil do
    • Proto lze v nalézt nekonečně mnoho členů posloupnosti a je tedy hromadným bodem

Vytvořeno: 29. 3. 2025, 11:13
Poslední aktualizace: 1. 6. 2025, 18:14