Velké malé O pomocí limit

Vztah asymptotická horní meze velké O a striktně větší horní meze malé o s limitami

#veta Vztah limity a asymptotických odhadů O a o

Mějme

Dále předpokládejme, že:

  • bod je hromadným bodem množiny i (kopírujeme požadavky z definic malé/velké O)
  • existuje okolí bodu takové, že (kopírujeme požadavky z definic malé/velké O)
  • pro různá od platí nerovnost (zde navíc, nelze dělit nulou)

Potom platí následující implikace a ekvivalence:

  • Pozor, v první implikaci je jen , nikoliv s pruhem, limita nesmí vyjít
  • Limita musí existovat! Pokud neexistuje, tvrzení nám nic neříká, nelze o malém/velkém O rozhodnout

#dukaz
V prvním případě si stačí uvědomit, že existence konečné limity implikuje omezenost funkce na okolí (tedy všechny funkční hodnoty toho podílu spadnou do okolí bodu , kde je výsledek té limity)
V druhém případě pak roli v definici malé o hraje v definici limity funkce

Nekonečno

Pokud výsledek limity vyjde , lze jednoduše vzít převrácenou hodnotu a také rozhodnout o vztahu:

Pozor pro

Pokud výsledek limity vyjde , jsou si a asymptoticky ekvivalentní () a platí velké O oběma směry:

Pro posloupnosti

  • Věta lze analogicky použít i pro posloupnosti
  • ! Nezapomínat na absolutní hodnotu, lze využít i např. pro posloupnost

Vytvořeno: 24. 3. 2025, 21:48
Poslední aktualizace: 16. 4. 2025, 17:20