Heineho věta

Vztah mezi limitami funkcí a limitami posloupností,
Vyvrácení existence limity funkce pomocí posloupností

#veta Heineho věta

právě když

  • je hromadným bodem a zároveň
  • pro každou posloupnost s limitou a splňující platí

( znamená, že daná posloupnost "jde" k , hodnoty posloupnosti jsou prvky definičního oboru zmíněné funkce, ale nejsou )

  • Věta nám formalizuje, co znamená pojem "blížit se k nějakému bodu"
  • Ať k bodu jdeme jakýmkoliv způsobem (jakoukoliv posloupností), tak funkční hodnoty mají za limitu opět
  • Využití: Můžeme aplikovat znalosti známých limit funkcí na posloupnosti a naopak, často k vyvrácení existence limity funkce

#dukaz
Směrem zleva doprava - pomocí věty o limitě zúžení
Směr zprava doleva vynecháváme

Důsledek - Vyvrácení existence limity funkce

Nechť

Pokud limity posloupností a existují a jsou různé, nebo alespoň jedna z nich neexistuje,
potom ani limita funkce neexistuje.

Příklad

Použití na odvození limity posloupnosti ze známé limity funkce

Víme, že pro funkci platí z Heineho věty plyne, že i pro limitu posloupnosti platí Proč? Použili jsme posloupnost se členy

  • je z věty
  • je z věty

Použití na vyvrácení existence limity

../Attachments/Pasted image 20250324211640.png

Myšlenka:

  • Z grafu nic nepoznáme, ale:
  • pro stále roste do , jednou zleva, jednou zprava
  • pro osciluje
  • Tedy celkově: čím blíž jdeme k nule, tím je tam hustší a hustší oscilace, limita neexistuje

Použití:
Označme , tj. a položme posloupnosti

Tyto limity splňují

(tedy mají stejnou limitu)

(tedy hodnoty jsou z definičního oboru původní funkce)

Konečně po dosazení posloupností do :

Tedy mají různé limity a limita původní funkce neexistuje!

Vytvořeno: 24. 3. 2025, 20:32
Poslední aktualizace: 18. 4. 2025, 19:50