Limita posloupnosti

#definice Limita posloupnosti

Posloupnost má limitu ,

právě když pro každé okolí bodu existuje (zarážka, index) takové,
že pro libovolné přirozené (tedy od zarážky dál) je .

Symbolicky zapisujeme různými způsoby

  • Tedy posloupnost má limitu , právě když v každém okolí bodu leží všechny členy posloupnosti až na konečný počet výjimek
Symbolicky

Podmínku v definici bychom symbolicky vyjádřili jako

../Attachments/Pasted image 20250320174731.png

  • (R s pruhem) zahrnuje 2 rozdílné možnosti:

    • - potom mluvíme o "vlastní" / konečné limitě
    • - potom mluvíme o "nevlastní" / nekonečné limitě

  • Definice limity posloupnosti připomíná definici pro malé o posloupnosti/malé o

  • Pozn.: U posloupností používáme pro nekonečno symbol bez znaménka, u funkcí se znaménkem případně

Alternativní definice

#definice definice limity posloupnosti

V případě, kdy je prvek , je podmínka ekvivalentní požadavku:

Příklad

Intuitivně: čím více se zvětšuje , tím menší je zlomek a jeho hodnota tak "tíhne" k nule.

Pomocí definice:


  • Tedy víme že:

Chceme tedy ověřit, že pro libovolné platí nerovnost což je ekvivalentní výrazu (protože )

Tedy vidíme, že "problematické" jsou malé . Čím je menší , tím musíme brát větší , šahat někam daleko do posloupnosti.
Velké nejsou problém. Zde je to triviální. Kdyby např. , tak vidíme, že to platí pro všechna .

Závěr:
Stačí vzít větší než , explicitně

../Attachments/Pasted image 20250320180139.png

Vytvořeno: 20. 3. 2025, 17:20
Poslední aktualizace: 21. 5. 2025, 17:59