Hromadný bod posloupnosti

#definice Hromadný bod posloupnosti

Bod nazýváme hromadný bodem posloupnosti ,
právě když v každém okolí bodu leží nekonečně mnoho členů posloupnosti .

Příklad

  • Konstantní posloupnost

    • má právě 1 hromadný bod, tím je
    • v každém okolí leží dokonce všechny členy této posloupnosti
    • členů je nekonečně mnoho, jeden pro každé (i když mají všechny stejnou hodnotu, )

  • Posloupnost

    • má právě 2 hromadné body, těmi jsou a

  • Posloupnost

    • má nekonečně mnoho hromadných bodů,
      které dohromady tvoří množinu

Alternativně

(se znalostí budoucích témat z BI-MA1)

Vztah mezi hromadnými body posloupností a vybranými posloupnostmi (podposloupnostmi) popisuje věta

#veta O vztahu hromadných bodů posloupností a jejích podposloupností

Bod je hromadným bodem posloupnosti , právě když existuje vybraná posloupnost mající limitu .

  • Stačí nám, že taková vybraná posloupnost existuje, nepožadujeme to pro všechny. Proč?
  • Podle definice hromadného bodu posloupnosti, bod nazýváme hromadný bodem posloupnosti , právě když v každém okolí bodu leží nekonečně mnoho členů posloupnosti
  • Stačí nám tedy sestrojit alespoň jednu posloupnost s limitou – to podle definice limity posloupnosti znamená, že pro každé okolí existuje (zarážka, index) taková, že pro libovolné přirozené (tedy od zarážky dál) je , tedy nekonečně mnoho členů

Vytvořeno: 20. 3. 2025, 15:58
Poslední aktualizace: 1. 6. 2025, 21:19