Trojúhelníková nerovnost

#veta Trojúhelníková nerovnost

Pro libovolná reálná čísla platí

Důkaz

#dukaz

Mají-li obě čísla a stejné znaménko, dostáváme z definice absolutní hodnoty rovnost.

Mají-li různá znaménka:

  • předpokládejme, že (je kladné)
  • předpokládejme, že (je záporné)

Potom:

  1. Je-li , pak (protože díky zápornosti )
  2. Je-li , pak

Absolutní hodnota

Pro každé reálné platí rovnost

Tedy pokud někde děláme odmocninu z , nesmíme zapomínat na absolutní hodnotu, ale vzít na vědomí oba možné kořeny

Trojúhelníková nerovnost II

Další užitečná nerovnost, která vychází z námi již známé trojúhelníkové nerovnosti definované výše

Absolutní hodnota rozdílu absolutních hodnot

Pro každé platí

#dukaz

Skutečně, díky trojúhelníkové nerovnosti platí:

řčžúí

a po prohození za a následující úpravě platí

ýšížáí

Čili dohromady

což je ekvivalentní dokazovanému tvrzení.

Vytvořeno: 13. 3. 2025, 16:07
Poslední aktualizace: 21. 3. 2025, 19:59