Hromadný bod (množiny)

(Cluster point)
"Hrb"

  • Pomocí pojmu okolí můžeme formalizovat jev "hromadění se" prvků množiny
  • Tento pojem bude zásadní pro definici limity
#definice Hromadný bod (množiny)

Bod nazýváme hromadným bodem množiny ,
právě když v každém okolí (i libovolně malém!) bodu leží nějaký prvek množiny různý od .

  • Tedy v okolí leží nekonečně mnoho dalších prvků

  • Kdybychom si vykreslovali jejich počet na grafu, bude zde největší (nekonečný) peak

  • Mějme množinu , tato množina má hromadný bod a to
    ../Attachments/Pasted image 20250221185311.png

  • Klíčové pro pochopení je, že okolí lze donekonečna zmenšovat a stále bude obsahovat nějaké prvky, pro zvětšování je to triviální

  • Konečná množina nemá žádné hromadné body

  • Hromadných bodů může být několik (klidně i nekonečno) - např. každý bod množiny je hromadným bodem množiny

Alternativně

(se znalostí budoucích témat z BI-MA1)

Hromadné body množiny můžeme elegantně popsat také pomocí posloupností a jejich limit

#veta Vztah hromadných bodů množin a posloupností

Mějme množinu .
Bod je hromadným bodem množiny , právě když

Myšlenka:

  • Vezmu okolí bodu , kde je určitě nějaký prvek množiny , označme ho
  • Vezmu menší okolí, kde není , ale je tam určitě další prvek, označme ho
  • Tudíž

Vytvořeno: 7. 8. 2024, 13:25
Poslední aktualizace: 24. 3. 2025, 21:27