Axiom úplnosti

Požadavek, aby množina reálných čísel "neměla díry".
Způsob, jak odlišit racionální čísla od reálných .

#definice Axiom úplnosti

Každý smršťující se systém (posloupnost) uzavřených intervalů, jejichž délky jsou libovolně malé, má neprázdný průnik.

Pokud jsou uzavřené intervaly splňující

  • pro každé
  • pro každé existuje tak, že délka je menší než

potom (tedy délka -tého intervalu jde limitně k nule)

  • U reálných čísel je v průniku všech intervalů právě jeden prvek
  • U racionálních čísel je průnik prázdný

Ukázka pro odmocninu ze 2

  • Víme, že , protože

../Attachments/Pasted image 20250221175518.png

Kdybychom se ale pohybovali v , vyjde nám prázdná množina

Alternativní definice

(se znalostí budoucích témat z BI-MA1)

Jak zformulovat axiom úplnosti pomocí limity

Axiom úplnosti

Každý smršťující se systém vnořených uzavřených intervalů má neprázdný průnik.

Přesněji, pokud

žé

pak existuje reálné ležící v každém z intervalů

  • Tedy následující interval je obsažen v tom předchozím intervalu (teoreticky se mohou i rovnat)

  • Musí se ale smršťovat

  • Délka -tého intervalu (tedy rozdíl ) jde k

  • Tuto definici pomocí limit využijeme dále v Bolzano-Weierstrassově větě

Alternativní definice 2

Buď lze v textech narazit na geometrickou definici pomocí uzavřených intervalů (jako jsme to definovali my) nebo pomocí Bolzanovy-Cauchyho věty a tzv. Cauchyovských posloupností

Vytvořeno: 21. 2. 2025, 17:49
Poslední aktualizace: 22. 5. 2025, 18:42