Základní věta aritmetiky

#tvrzeni Rozklad na součin prvočísel

Každé složené číslo můžeme psát ve tvaru součinu prvočísel

#veta Základní věta aritmetiky

Každé se dá jednoznačně vyjádřit ve tvaru

kde jsou prvočísla a .
Tento zápis se nazývá kanonickým/prvočíselným rozkladem čísla nebo také (prvočíselnou) faktorizací čísla .

#dukaz Důkaz:

  • Existence - díky předchozímu tvrzení

  • Zbývá dokázat jednoznačnost (lze sporem)

  • Předpokládejme, že je nejmenší přirozené číslo takové, že má (alespoň 2) faktorizace
    (čísla mají faktorizaci jedinou)

  • prvočísla a , taková, že

  • prvočíslo dělí beze zbytku prvočíslo, tedy se musí rovnat,

  • Tedy našli jsme 2x stejně pojmenované jedno prvočíslo (jednou jako , jednou jako ), můžeme je tedy škrtat (krátit)

    • SPOR
    • Protože jsme našli číslo, které má 2 různé faktorizace

LCM a GCD

Pro výpočet s více argumenty než jen 2, tedy je potřeba buď opakovaný REA (nejprve pro a pak pro atd.) nebo prvočíselná faktorizace.

Vytvořeno: 7. 8. 2024, 13:25
Poslední aktualizace: 7. 8. 2024, 13:25